Теоремы о свойствах пифагорейских троек

Захаров Роман, обучающийся 9 класса ГАОУ Лицей №153 Кировского района ГО г. Уфа

Руководители: Юлмухаметов Р. С., Трунов К. В., Саханевич М.В., Галиева Г. Р.

Важнейшие свойства пифагорейских троек используются часто. Серпинский Вацлав — выдающийся польский математик, исследовал их свойства. Ученый написал более 50 книг и 700 статей по различным темам точных наук. Именем Серпинского названы числа, фракталы и кривая Серпинского.

В своей работе я изучил геометрические исследования знаменитого математика, прочел его книги и обработал данные на компьютере. К сожалению, после смерти ученого, его книги не переиздавались. Своей задачей я поставил найти актуальность работ Серпинского и обозначить важность его исследований, показав, как с помощью совсем простых теорем в два счета доказывать более сложные теоремы, хотя и формулируются легче. К примеру, выразив стороны и периметр треугольника сложными формулами, но всего двумя переменными, можно доказать множество теорем. В своей работе я доказал более 15 теорем, вытекающих из главной. Эти теоремы значительно облегчают решение геометрических и алгебраических задач.

Решение линейных уравнений методом Гаусса

Мухаев Артур, обучающийся 11 класса МБОУ СОШ №1 ГО г. Янаул МР Янаульский район

Руководитель: Валиева Ю. Ф.

В школе решаем много систем уравнений и рассматриваем методы подстановки, алгебраического сложения, но есть и другие способы решения сложных линейных уравнений. И я занимался исследовательской работой в прошлом учебном году на тему «Решение систем линейных уравнений методом Крамера» а в этом году я продолжил работу по теме «Решение систем линейных уравнений методом гаусса»

Для решения экономических задач нужно составить систему линейных уравнений. Вспомним, какие уравнения называются линейными? Уравнение называется линейным, если оно содержит переменные только первой степени. Чтобы решить систему методом Гаусса нужно составить матрицу из коэффициентов уравнений используя элементарные преобразования и привести матрицу к треугольному виду. Это будет прямой ход метода Гаусса. Из полученной треугольной матрицы составим систему и решим ее. Это будет обратный ход метода Гаусса. Как мы видим достоинства метода Гаусса по сравнению с другими: 1)значительно менее трудоемкий. 2) позволяет однозначно установить, совместна система или нет, а в случае совместимости найти ее решения (единственное или бесконечное множество).

А сейчас рассмотрим решение задач методом Гаусса.

Изучая решение линейных уравнений методом Гаусса сам составил задачи про школы города и успеваемости, учащихся 5 и 10 классов СШ №1.

Рассмотрим Задачу 1 про школу. В течение полугода СШ №1 израсходовала э/э 5 ед., воду 7 ед., отопление 6 ед., в результате заплатили 965 тыс. рублей. СШ №2 израсходовала э/э 7 ед., воду 4 ед., отопление 8 ед., в результате заплатили 950 тыс. рублей. СШ №3 израсходовала э/э 6 ед., воду 9 ед., отопление 5 ед., в результате заплатили 890 тыс. рублей. Найти сколько рублей заплатила каждая школа за э/э, воду и отопление.

Из условия задачи составим таблицу. По данной таблице составим систему. Составим матрицу, и приведем к треугольному виду используя элементарные преобразования и решим ее обратным ходом метода Гаусса.

Из последнего уравнения z=138,1

Из второго уравнения y=59,06

Из первого уравнения х=56,4.

Рассмотрим Задачу 2 про успеваемость учащихся 5 и 10 классов СШ №1.

Задача 2. Осенние входные контрольные срезы 5 и 10 классах дали такие результаты СОУ: 5а-35,3%.

5б-45%.

10а-37,5%.

10б-55,8%.

А количество учащихся в этих классах соответственно 18,20,21,22.

Найти коэффициент СОУ для «5а», «56б», «10а», «10б» соответственно.

Составим по задаче таблицу.

_{Задача 3.}

_{Я учусь, в 11 классе и нас заставляют покупать сборники задач по ЕГЭ. Возьмем математику. По математике в основном занимаемся по учебникам Лысенко, Семенова,Клова..}

_{Для трех классов заказали книги по подготовки к ЕГЭ:}

_{Первая книга- под редакцией Лысенко Ф.Ф.}

_{Вторая книга- под редакцией Семенова А.И.}

_{Третья книга- под редакцией Клово А.Г.}

_{Поставщик подсчитал и сказал только общую сумму по классам. Нужно узнать, сколько стоит каждая книга? И мне поручили узнать, сколько стоит каждая книга. И я составил систему линейных уравнений и решил ее методом Гаусса.}

_{11А заказали 1- 10 шт., 2- 12 шт., 3- 15 шт. И общая сумма составила 4160 рублей.}

_{11Б заказали 1- 5 шт., 2- 20 шт., 3- 10 шт. И общая сумма составила 3500 рублей.}

_{11В заказали 1- 21 шт., 2-5 шт., 3- 7 шт. И общая сумма составила 4180 рублей.}

_{Из последнего уравнения z=120}

_{Из второго уравнения у=80}

_{Из первого уравнения х=140.}

_{Задача 4.}

_{Прошли Новогодние праздники. Мои родители составили новогодние подарки внукам. Используя 4 вида шоколадных конфет т.к. они любят только эти конфеты. И мой племянник сказал мне посчитать, сколько стоит каждая шоколадная конфета. И я опять составил систему линейных уравнений и решил ее методом Гаусса и подсчитал.}

_{Сделали новогодние подарки на суммы: 107 рублей, 118 рублей, 117 и 156 рублей, используя четыре вида шоколадных конфет.}

_{В первом подарке было 6 шоколадок-1 вида, 10 шоколадок- 2 вида, 2 шоколадки- 3 вида и 5 шоколадок-4 вида.}

_{Во втором подарке было 12 шоколадок-1 вида, 5 шоколадок-2 вида, 4 шоколадки- 3 вида и 7 шоколадок-4 вида.}

_{В третьем подарке было 5 шоколадок-1 вида, 13 шоколадок-2 вида, 8 шоколадок-3 вида и 3 шоколадки-4 вида.}

_{В четвертом подарке было 4 шоколадки-1 вида, 12 шоколадок-2 вида, 7 шоколадок-3 вида, 10 шоколадок-4 вида.}

_{Узнать сколько стоит одна шоколадка каждого вида?}

_{Пусть Хр- шоколадка 1 вида, Ур-шоколадка 2 вида, Zр- шоколадка 3 вида, Kр- шоколадка 4 вида.}

Из последнего уравнения k=7

Из третьего уравнения z=2

Из второго уравнения у=5

_{Из первого уравнения х=3}

Я так увлекся решениями систем линейных уравнений и хочу продолжить рассматривать другие методы решения, например: матричным методом. Этот метод уже буду рассматривать в ВУЗЕ при изучении раздела «Линейная алгебра»

Как мы видим, знания по математике необходимы. Математика нужна нам не только в школе, но и в жизни. Это мы видим на примерах задач.

Словом, математика названа царицей наук не случайно.

Занимаясь этой, исследовательской работой я не только научился вычислять системы линейных уравнений разными методами и составлять задачи из жизни.