Лекция №10

Задача поиска маршрутов в графе (путей в орграфе)

Алгоритм Тэрри поиска маршрута в связном графе, соединяющего вершины и .

Правила.

1) Идя по произвольному ребру всегда отмечать направление его прохождения.

2) Исходя из некоторой вершины всегда следовать по тому ребру, которое не было пройдено или было пройдено в противоположном направлении.

3) Для всякой вершины отмечать ребро по которому в вершину попали в первый раз

4) Исходя из некоторой вершины идти по первому заходящему в ребру лишь тогда, когда нет других возможностей.

Найти маршрут

соед. и

+

+, значит

прошли

+

+

Замечание: из полученного пути можно выделить простую цепь.

Поиск оптимального пути (маршрута) (т.е пути с наименьшим числом дуг или ребер)

Утверждения:

1) каждый минимальный путь (маршрут) является простой цепью

Доказательство.

Пусть минимальный путь в орграфе D, не являющийся простой цепью. Тогда  i и j такие, что и v_i=v_j. Рассмотрим путь . Его длина меньше, чем , что противоречит предположению.

2) (о минимальности подпути минимального пути). Пусть - минимальный путь (маршрут) в орграфе D (в графе G). Тогда для  i и j таких, что путь (маршрут) тоже является минимальным.

Доказательство. Предположим, что не является оптимальным, тогда т.ч. он короче чем . Если в вошли вершины из , то этот путь не является простой цепью. Тогда исключив из него циклы, можно найти еще более короткий путь не является минимальным. Пришли к противоречию.

Пусть орграф - некоторая вершина .

Обозначим - образ вершины ;

- прообраз вершины ;

- образ множества вершин V₁ ;

прообраз множества вершин V₁.

Для неориентированного графа образ и прообраз совпадают.

Пусть граф .

Обозначим - образ вершины ;

- образ множества вершин V₁.

Пусть орграф с n2 вершинами и v,w (vw) – заданные вершины из V

Алгоритм поиска минимального пути из в в орграфе D

(алгоритм фронта волны).

1) Помечаем вершину индексом 0, затем помечаем вершины  образу вершины индексом 1. Обозначаем их FW₁ (v). Полагаем k=1.

2) Если или k=n-1, и одновременно то вершина не достижима из . Работа алгоритма заканчивается.

В противном случае продолжаем:

3) Если , то переходим к шагу 4.

В противном случае мы нашли минимальный путь из в и его длина =k. Последовательность вершин

есть этот минимальный путь. Работа завершается.

4) Помечаем индексом k+1 все непомеченные вершины, которые принадлежат образу множества вершин c индексом k. Множество вершин с индексом k+1 обозначаем . Присваиваем k:=k+1 и переходим к 2).

Замечания

Множество называется фронтом волны k^го уровня.

Вершины могут быть выделены неоднозначно, что соответствует случаю, если несколько min путей из в .

Пример 1. Дана матрица смежности. Найти минимальный путь из v₁ в v₆.

Исх\вход
	0	0	0	1	1	0
	1	0	0	1	1	1
	1	1	0	1	1	1
	0	1	1	0	1	0
	1	1	1	1	0	0
	1	1	1	1	1	0
	0	2	2	1	1	3

Пример 2. Дан орграф.

1

2

3

4

5

6

Задание. Найти минимальный путь из v₁ в v₆.

Расстояния в графе

Пусть - граф (или псевдограф).

Расстоянием между вершинами наз. min длина пути между ними. . в орграфе, если не пути

Расстояние в графе удовл. аксиомам метрики

1) ,

2) (не орграф)

3)

4) в связном графе (не орграфе).

Пример ???

	1	2	3	4	5	6
1	0	2	2	1	1	3
2	1	0	1	1	1	1
3	1	1	0	1	1	1
4	2	1	1	0	1	2
5	1	1	1	1	0	2
6	1	1	1	1	1	0

Из 1 в 6.

Из 4 в 5

опр || Пусть связный граф (или псевдограф).

Величина - называется диаметром графа G.

Пусть .

Величина - называется максимальным удалением (эксцентриситетом) в графе G от вершины .

Радиусом графа G наз. величина

Любая верш. такая, что наз. центром графа G.

Матрица смежности

	0	1	0	0	0
	1	0	1	1	0
	0	1	0	1	0
	0	1	1	0	1
	0	0	0	1	0

Матрица расстояний

	0	1	2	2	3
	1	0	1	1	2
	2	1	0	1	2
	2	1	1	0	1
	3	2	2	1	0

Центры в вершинах 2,3,4

Примеры.

1

2

3

4

5

6

Матрица смежности

	1	2	3	4	5	6
1	0	1	0	0	1	0
2	1	0	0	1	0	1
3	0	0	0	0	1	1
4	0	1	0	0	1	0
5	1	0	1	1	0	0
6	0	1	1	0	0	0

Матрица расстояний

	1	2	3	4	5	6
1	0	1	2	2	1	2
2	1	0	2	1	2	1
3	2	2	0	1	1	1
4	2	1	1	0	1	2
5	1	2	1	1	0	2
6	2	1	1	2	2	0

, центр - все вершины