Тема 2. Прямая

Прямая общего положения

Прямая, не параллельная никакой плоскости проекций и пред­ставляющая самый общий случай положения прямой в пространстве от­носительно принятой системы плоскостей проекций, называется прямой общего положения (рис. 13).

а) б б б)

Рис. 13

При любом способе проецирования прямой на плоскость проекция ее будет прямая линия.

Из элементарной геометрии известно, что две точки определяют положение прямой в пространстве. Отсюда проекции этих точек опре­деляют положение проекций линии.

Спроектируем точки А и В (рис. 13б) на фронтальную и гори­зонтальную плоскости проекций. Проведя через одноименные проекции этих точек прямые линии, мы получим проекции отрезка АВ:

фронтальную а' в' и

горизонтальную ав.

Ч ертеж отрезка АВ можно представить в системе трех плоскостей проекций: V, Н, W (рис. 14).

Рис. 14

Проекции а" в" могут быть построены любым из известных способов (главное - минимальное количество линий построения).

Прямые частного положения (Прямые уровня)

Прямая линия может занимать относительно плоскостей проекций (кроме общего положения) частные (особые) положения. Их целесооб­разно разделить на две группы:

1. Прямая параллельна одной из плоскостей проекций.

2. Прямая параллельна двум плоскостям проекций.

Прямая параллельна одной плоскости проекций

1. Прямая параллельна плоскости Н (рис. 15).

В таком случае фронтальная проекция прямой параллельна оси проекций х, а горизонтальная проекция отрезка этой прямой равна самому отрезку, т.е. ав = АВ. Такая прямая называется горизонталь­ной прямой или горизонталью.

Рис. 15

Если, например, проекция а' в' совпадает с осью проекций х, отрезок АВ расположен в плоскости Н.

2. Прямая параллельна плоскости V (рис. 16).

Рис. 16

B этом случае горизонтальная проекция прямой сd параллельна оси проекций, а фронтальная проекция отрезка этой прямой равна самому отрезку: c'd' = CD).

Такая прямая называется фронтальной прямой или фронталью.

Если, например, проекция сd совпадает с осью проекций, то это соответствует положению отрезка СD в самой плоскости V.

3. Прямая параллельна плоскости W (рис. 17).

В таком случае горизонтальная и фронтальная проекции прямой располагаются на одном перпендикуляре к оси проекций х, а профильная проекция этой прямой равна самому отрезку: e"f" = EF Такая прямая называется профильной прямой.

Рис. 17

Прямая параллельна двум плоскостям проекций (Проецирующие прямые)

1. Прямая параллельна плоскостям V и W (рис. 18).

Если какая-либо прямая параллельна плоскостям V и W, тo она перпендикулярна к плоскости Н. Проекция прямой на плоскость W представляет собой отрезок параллельный и равный e' f'. Эта прямая называется горизонтально проецирующей прямой.

Рис. 18

2. Прямая параллельна плоскостям Н и W (рис. 19)

Рис. 19

3. Прямая параллельна плоскостям V и Н (рис. 20)

Рис. 20

Если какая-либо прямая параллельна плоскостям V и Н, то она перпендикулярна к плоскости W. Проекция этой прямой на плоскость W представляет собой точку, т.е. эта прямая является профильно проецирующей. Проекции отрезка прямой АВ на плоскости V и Н равны самому отрезку, т.е. отрезок прямой проецируется на эти плос­кости в натуральную величину.

Следы прямой

Рис. 21

На рис. 21, а показаны точки М и N, в которых прямая, заданная отрезком АВ, пересекает плоскости проекций. Эти точки пере­сечения прямой с плоскостями проекций называются ее следами:

точка М - горизонтальный след прямой;

точка N - ее фронтальный след.

Горизонтальная проекция горизонтального следа (точка т) совпадает с самим следом М, а фронтальная проекция этого следа m' лежит на оси проекций.

Фронтальная проекция фронтального следа n' совпадает с точ­кой N, а горизонтальная проекция n лежит на той же оси проек­ций.

Следовательно, чтобы найти горизонтальный след, надо (рис. 21, б) продолжить фронтальную проекцию а'в' до пересечения с осью системы V/Н (ось х) и через точку m'(фронтальную проекцию го­ризонтального следа) провести перпендикуляр к оси х до пересечения с продолжением горизонтальной проекции ав. Точка пересечения m -есть горизонтальная проекция горизонтального следа; она совпадает с самим следом.

Для нахождения фронтального следа продолжаем горизонтальную проекцию ав до пересечения с осью х; через точку n (горизонталь­ную проекцию фронтального следа) проводим перпендикуляр до пересе­чения с продолжением фронтальной проекции а'в'. Точка n' - фронтальная проекция фронтального следа; она совпадает с самим сле­дом N.

По положению точек М и N можно легко судить, к каким чет­вертям (октантам) пространства отнесена данная прямая.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНЫ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ

Из рассмотренных свойств параллельного (ортогонального) проецирования известно, что отрезок прямой линии, параллельной плос­кости проекций, проецируется на эту плоскость в натуральную вели­чину.

Естественно, что отрезок, принадлежащий прямой общего поло­жения, не может быть равен своим проекциям (рис. 22). АВва - оче­видно неравнобочная трапеция, т.е. АВ не равно ва.

Рис. 22

Отсюда возникает очень важный вопрос начертательной геометрии: "Как определить истинную длину отрезка прямой общего положе­ния?".

Рис. 23

Пусть АВ (рис. 23) отрезок прямой общего положения, а_pв_p -его ортогональная (прямоугольная) проекция. Тогда угол Вв_pа_p = 90° (по построению). Через точку А проведем прямую A1 || а_pв_p. Cледовательно, и угол B1A = 90°. В полученном треугольнике AB1 отрезок прямой АВ является гипотенузой. Катет A1 - а_pв_p т.е. он равен проекции отрезка АВ на плоскости проекций Р. Другой катет B1 равен разности расстояний концов отрезка от плоскости проекций Р, т.е. B1 = Вв_p - Аа.

Следует обратить внимание, что угол прямой с плоскостью проекций определяется как угол, составленный прямой с ее проекцией на этой плоскости (рис. 23: угол α). Этот угол входит в тот же прямоугольный треугольник AB1, который был построен для определения натуральной величины отрезка.

Таким образом, этот способ - способ прямоугольного треуголь­ника - основан на построении прямоугольного треугольника по двум катетам, из которых один представляет длину любой из проекций, а другой является разностью расстояний концов этого отрезка от дан­ной плоскости проекций.

Н а рис. 24 длина отрезка АВ и угол, составленный прямой АВ с плоскостью Н, определены из прямоугольного треугольника, пост­роенного на проекции ав со вторым катетом bB, равном в'1. АВ = aB.

Рис. 24 Рис. 25

На рис. 25 длина отрезка и угол, составленный с плоскостью V, определены из прямоугольного треугольника, построенного на фронтальной проекции а'в'. Здесь а'А = а2; а АВ = в'A. Угол наклона прямой к плоскости V равен углу β.