Критерій мінімаксного ризику Севіджа

Виникають ситуації, в яких неконтрольовані фактори діють більш приємним чином у порівнянні з найкращім становищем, на яке орієнтувалась ОПР. Наприклад, погодні умови сказалися краще прогнозованих; конкуренція зменшилась на ринку у по­рівнянні з прогнозованими очікуваннями. У цих умовах виникає необхідність визначення можливих відхилень отриманих резуль­татів від їх оптимальних значень. У цьому випадку застосовують критерій Севіджа.

Цей критерій аналогічний попередньому критерію Вальда, але ОПР використовує не матрицю виграшів А, а матрицю ризиків R .

За критерієм Севіджа кращим є рішення, при якому макси­мальне значення ризику буде найменшим, тобто

Тобто розглядаючи i-ту стратегію, допускаємо ситуацію максимального ризику та вибираємо стратегію з найменшим ризиком .

Для застосування критерію Севіджа до ситуації пред'являються ті ж самі умови, що й для критерію Вальда.

Приклад 3.6. Для вихідних даних прикладу 3.2 за критерієм Севіджа вибрати стратегію, яка є найбільш вигідною.

Матриця ефективності ефективності за задачею 3.2.

Для кожної стратегії статистика (гравця) А знайдемо максимальний виграш , тобто (серед елементів першого стовпчика матриці наслідків обрали більше); аналогічно , , , .

Використовуючи формулу побудуємо матрицю:

Розв'язання. Запишемо матрицю ризиків гри у вигляді таблиці 3.7 і знайдемо найбільше значення для кожного рядка.

Таблиця 3.7

Матриця ризиків гри

	П1	П2	П3	П4	λ
А1	6	2	4	6	6	6
А2	3	0	6	8	0	8
А3	0	4	1	0	4	4
0<λ<1	2	6	0	6	5	6

Слід вибрати таку стратегію серед стратегій , яка має найменший ризик, тому за формулою (3.18) маємо:

тобто вибираємо стратегію А₃, при застосуванні якої статисти­ком величина ризику, що дорівнює 4 одиниці, приймає мінімальне значення у самій гіршій ситуації.

Помітимо, що цей вибір оптимальної стратегії збігається з ви­бором за критеріями Вальда і оптимізму.

Суть критерію Севіджа полягає у прагненні уникнути великого ризику при виборі рішення (стратегії).

Критерій песимізму-оптимізму Гурвіца

Цей критерій рекомендує в процесі прийняття рішення вико­ристовувати певний середній результат, що характеризує стан між крайнім песимізмом і крайнім оптимізмом.

У випадку, коли гру задано матрицею виграшів за критерієм Гурвіца перевага віддається варіанту рішення, яке визначається максимумом серед лінійних комбінацій мінімального і максималь­ного виграшів:

(3.19)

Коефіцієнт λ можна розглядати як показник оптимізму.

При λ = 0 критерій Гурвіца співпадає з максимаксним кри­терієм, тобто орієнтація на граничний ризик, оскільки великий виграш спрягається з великим ризиком. При λ = 1 критерій Гур­віца співпадає з критерієм Вальда, тобто орієнтація на обережну поведінку. Тому критерій Гурвіца це називають критерієм уза­гальненого максиміну.

Значення А є проміжними між ризиком і обережністью і ви­бирається із суб'єктивних (інтуїтивних) міркувань в залежності від конкретних умов та схильності до ризику ОПР.

У випадку, коли гру задано матрицею програшів за критерієм Гурвіца перевага віддається варіанту рішення, яке визначається мінімумом серед лінійних комбінацій мінімального і максималь­ного виграшів:

(3.20)

де 0< λ <1.

Формулу (3.20) застосовують також у випадку, коли задано матрицю ризиків. Критерій Гурвіца застосовується у випадку, коли:

• про ймовірність появи стану П_j. нічого не відомо;

• з появою стану П_j. необхідно вважатися;

• реалізується тільки мала кількість рішень;

• допускається деякий ризик.

Приклад 3.7. Для гри, яку задано матрицею виграшів у при­кладі 3.2, за критерієм Гурвіца при λ = 0,6 вибрати стратегію, яка є найбільш вигідною.

Розв'язання. Запишемо матрицю виграшів у вигляді 1 таблиці 3.8 і знайдемо найменше значення і найбільше значення - для кожного її рядка.

Таблиця 3.8

Матриця виграшів гри

	П1	П2	П3	П4	П5	і '
А1	2	5	4	3	2	2	5
А2	5	7	2	1	8	1	8
А3	8	3	7	9	4	3	9
А4	6	1	8	3	3	1	8

Визначимо максимум серед лінійних комбінацій мінімального 1 максимального виграшів за формулою (3.19):

Таким чином, за критерієм Гурвіца при значенні показнику оптимізму λ = 0,6 слід вибрати стратегію А₃.

Помітимо, що цей вибір оптимальної стратегії збігається з ви­бором за критеріями Вальда, оптимізму і Севіджа.