7. Теорія оптимального портфеля. Формування оптимального портфеля з обмеженої кількості цінних паперів.

Розглянемо принципи Марковіца і Тобіна постановки задач формування оптимальних портфелів цінних паперів. Для цього введемо кілька позначень:

– частка паперів -го виду в портфелі, ;

– математичне очікування прибутковості -го виду паперів,

– ризик -го виду паперів (середньоквадратичне відхилення прибутковості).

Прибутковість портфеля можна розглядати як середньозважену величину від доходностей паперів, що його утворюють:

(6.12)

Зазвичай, і середня ринкова прибутковість визначається як середньозважена прибутковість всіх акцій ринку. Цей показник розраховують за акціями найбільш представницьких компаній. Індексів, застосовуваних у міжнародній практиці, досить багато. У США, наприклад, дуже представницьким вважається індекс компанії “Standart and Poors”, розрахований за акціями 500 найбільших компаній. Оскільки одночасно максимізувати ефективність і мінімізувати ризик не можна, то доводиться оптимізувати щось одне, накладаючи обмеження на інший параметр.

Портфелі мінімального ризику формуються шляхом вимоги мінімізації ризику за умови обмеження на прибутковість. Портфель Тобіна від портфеля Марковіца відрізняється тим, що в нього включені безризикові цінні папери.

Портфель мінімального ризику:

(6.13)

де – частка капіталу, вкладеного в безризикові цінні папери,

– ефективність безризикових цінних паперів.

Портфелі максимальної ефективності формуються шляхом вимоги максимізації прибутковості за умови обмеження на ризик. Портфель Тобіна відрізняється тим, що в нього включені безризикові цінні папери.

Портфель максимальної ефективності:

(6.14)

.

У реальності портфелі Марковіца і Тобіна – абстракції, тому що для кожного цінного паперу, що обертається на ринку, неможливо вірогідно знати ні його доходності, ні середньоквадратичного відхилення. Крім того, хоч би яким великим був портфель окремого інвестора, він не може повторити структуру ринку через розрахункову мізерність часток багатьох видів акцій, необхідних для його складу. Такий спосіб формування портфеля акцій прийнятний лише до певної міри і лише для великих гравців на фондових біржах. Тому для практичних цілей пропонуються рішення у вигляді рекомендаційних порад. Вважається, що стійкий до коливань ринку пакет акцій має складатися як мінімум з цінних паперів 12 різних компаній. Приблизно третина акцій має придбаватися у великих і найбільших компаній, третина – у середніх і третина – у швидко зростаючих невеликих фірм. Відомо також “правило п’яти пальців руки”, за яким з кожних п’яти акцій у пакеті одна принесе збиток, три більш-менш принесуть очікувані дивіденди, а одна дасть значно кращі результати, ніж очікувалося. З огляду на це часто мінімальною кількістю різних видів акцій в оптимальному портфелі вважається число п’ять.

Ризикованість одного активу вимірюється дисперсією або середньоквадратичним відхиленням доходів по цьому активу, а ризик портфелю – дисперсією або середньоквадратичним відхиленням доходів портфелю. При визначенні стандартного відхилення портфелю користуються коваріацією – статистичною мірою взаємодії двох випадкових змінних. Тобто, це міра того, наскільки дві випадкові величини (наприклад, доходності двох цінних паперів), залежать один від одного. Додатне значення показника коваріації показує, що доходності цих паперів мають тенденцію змінюватися в один бік, від’ємне значення свідчить про те, що доходності мають тенденцію компенсувати один одну. Відносно невелике або нульове значення коваріації показує те, що зв’язок між доходністю цих паперів слабкий або відсутній зовсім. Коваріацію кожної пари активів можливо знайти за формулою:

(6.15)

де , - цінні папери;

- кількість інтервалів часу в розглянутому періоді (період вибірки).

Якщо соv (х,у) >0, то прибутковості цінних паперів х і у мають тенденцію змінюватися в одну сторону, наприклад краща, чим очі­кувана, прибутковість одного із цінних паперів повинна, ймовірно, спричинити кращу, чим очікувана, прибутковість іншого цінного папера.

Якщо соv (х,у) <0, то прибутковості цінних паперів х і у мають тенденцію компенсувати одна одну, наприклад краща, чим очіку­вана, прибутковість одного цінного паперу супроводжується, як правило, гіршої, чим очікувана, прибутковістю іншого цінного паперу.

Відносно невелике або нульове значення коваріації, показує, що зв'язок між прибутковістю цих цінних паперів слабкий або відсутній взагалі.

Формування оптимального портфеля з обмеженої кількості цінних паперів Ефективність цінного паперу або норма прибутку в -му періоді визначається формулою:

(6.16)

де – ціна паперу наприкінці -го періоду;

– ціна папера наприкінці -го періоду;

– дивіденди, нараховані в -му періоді.

Оптимальне значення частки паперу першого виду:

.

де – ступінь ризику паперів (дисперсія), %;

– коефіцієнт кореляції (в межах від -1 до 1; чим ближче до 1 тим тісніший зв’язок між нормами прибутку двох цінних паперів; чим ближче до 0, тим слабший зв’язок між нормами прибутку; якщо він додатній – то зростання (зниження) норми прибутку одного паперу відбувається одночасно із зростанням (зниженням) норми прибутку іншого паперу; якщо від’ємний – то зростання (зниження) норми прибутку одного цінного паперу відбувається одночасно із зниженням (зростанням) норми прибутку іншого цінного паперу.

Тоді оптимальне значення частки паперу другого виду

Середня ефективність портфеля з двох цінних паперів та дисперсія ( ризик):

Норма прибутку портфеля цінних паперів, що складається із паперів, що мають ризик і з без ризикових паперів:

де – частка капіталу, вкладена у ризикові папери;

– ефективність ризикових паперів;

– частка капіталу, вкладена у без ризикові папери;

– відсоток прибутку безризикових паперів.

Тоді ризик (дисперсія):

, звідки:

де – ризик ризикових паперів.

Тоді норма прибутку такого портфеля:

Отримане співвідношення – відома модель ринків капіталів, яка встановлює норми прибутку портфеля від ринкового ризику. Коефіцієнт показує, наскільки зміниться норма прибутку портфеля, якщо ризик зміниться на 1 %.

Випадкову величину ефективності -го виду цінних паперів позначимо через . Очікувану ефективність -го ЦП позначимо через , варіацію , коваріацію між і – . Нехай – частка загального вкладення, що припадає на -й вид ЦП так, що . Тоді очікувана ефективність портфеля , а дисперсія ефективності . Математична модель знаходження оптимального портфеля має вигляд:

, (6.17)

(6.18)

Задача полягає у знаходженні , які мінімізують варіацію портфеля за умови, що забезпечується задане значення очікуваної ефективності. Прийнято розглядати два випадки: і довільного знака (або розміщене в деякому проміжку). Якщо , то це означає, що папери -го виду рекомендується взяти в борг або взяти в борг гроші під відсоток (допускається short sale) для формування необхідного портфеля. У випадку допустимості short sale розв’язання подається у вигляді:

, (6.19)

де (6.20)

Обчислення за цією формулою дуже об’ємні. Тому задачу слід розв’язувати за допомогою комп’ютера. У разі неприпустимості short sale обчислення ще складніші. Але при розв’язанні за допомогою комп’ютера це не має ніякого значення. Тому тут розглядаємо тільки випадок допустимості short sale.

У випадку, якщо на ринку цінних паперів є безризикові цінні папери, то структура ризикової частини в оптимальному портфелі постійна. Тому. якщо на ринку цінних паперів є безризикові, то інвестор на свій розсуд (у міру його схильності до ризику) вибирає, яку частину капіталу вкласти в безризикові, а яку в ризикові. При цьому структура ризикової частини визначається однозначно, незалежно від схильності до ризику інвестора. Нехай є безризикові цінні папери з ефективністю . Якщо задається , то структура оптимального портфеля у випадку допустимості short sale визначається формулою:

(6.21)

де – частка безризикових цінних паперів.

де чи .(6.22)

Структура ризикової частини знаходиться за формулою:

.(6.23)

При цьому:

(6.24)

У випадку двох ЦП виклад істотно спрощується:

(6.25)

Зокрема, якщо другий ЦП безризиковий, то

(6.26)

Приклад 6.2. Шляхом обробки тимчасових рядів, визначено імовірнісні характеристики трьох цінних паперів (табл.6.5).

Таблиця 6.5

Математичне очікування і коваріація цінних паперів

Математичне очікування		Коваріація
			І	ІІ	ІІІ
І	11	І	8	1	-2
ІІ	5	ІІ	1	2	-1
ІІІ	3	ІІІ	-2	-1	1

Необхідно: знайти структуру оптимального портфеля і відповідний ризик за умови очікуваної ефективності портфеля =6%; визначити оптимальну структуру ризикової частини портфеля, за умови, що є безризикові цінні папери з ефективністю 2%; визначити його ефективність та ризик.

Розв’язок.

Визначимо структуру оптимального портфеля і відповідний ризик за умови значенням очікуваної ефективності портфеля =6%,

. . .

.

Звідси, .

Таким чином, оптимальним вкладенням буде такий їх розподіл між активами: І –37,6%; ІІ – 18,5%; ІІІ – 43,9%.

При цьому,

Знайдемо оптимальну структуру ризикової частини портфеля, за умови, що є безризикові цінні папери з ефективністю 2%; визначимо його ефективність та ризик.

;

. .

; .

Таким чином, структура ризикової частини портфеля така: І – 14,45; ІІ – 26,8%; ІІІ – 58,8%.

При цьому,

.

Висновок: Оптимальна структура портфеля за умови очікуваної ефективності портфеля =6% становить: І –37,6%; ІІ- 18,5%; ІІІ – 43,9%, ризик – 84,2%.

Оптимальна структура ризикової частини портфеля, за умови, що є безризикові цінні папери з ефективністю 2%: І – 14,45; ІІ – 26,8%; ІІІ – 58,8%., ризик – 28,2%

Висновки

Інвестиційні рішення – рішення щодо вкладення (інвестування) коштів в активи у визначений момент часу з метою одержання прибутку в майбутньому. Інвестиційний проект – план (програма) заходів, пов’язаних зі здійсненням капітальних вкладень з метою їх послідуючого відшкодування та отримання прибутку. Інвестиційний проект вважається ефективним, якщо його доходність та ризик збалансовані в прийнятній для учасника проекту пропорції. Критеріями обґрунтування рішень при прийнятті (виборі) інвестиційного проекту є: чистий приведений дохід, індекс прибутковості, термін окупності, внутрішній коефіцієнт рентабельності. Критерій NPV з врахуванням ризику може бути визначений шляхом розрахунку еквівалентного грошового потоку чи коригуванням ставки дисконтування за фактором ризику.

Найбільш розповсюджений у практиці закордонних фірм метод обґрунтування ставки дисконтування – це визначення середньозваженої ціни капіталу підприємства (Weighted Average Cost of Capital – WACC). Коефіцієнти необхідної доходності включають в себе безризикову ставку і премію за ризик, які визначаються: загальноекономічними умовами, станом ринку, інвестиційними і фінансовими рішеннями компанії; фінансовими потребами для інвестиційного проекту.

Існує інша модель, яка дозволяє в більшій мірі врахувати ризик при обґрунтуванні ставки дисконтування — модель визначення ціни капітальних активів (Capital Asset Pricing Model – САРМ). Відповідно до моделі САРМ, очікувана норма прибутковості акції компанії (ціна акціонерного капіталу) розраховується як сума вільної від ризику норми прибутковості і відповідної ризикової премії, що визначається ринком. Коефіцієнт є оцінкою систематичного, ринкового ризику. Чим вище коефіцієнт, тим вище систематичний ризик. Коефіцієнт звичайної акції вказує, на скільки відсотків наближено зросте (знизиться) норма прибутку акції, якщо норма прибутку ринку зросте (знизиться) на 1%.

Опціонний критерій прийняття рішень дозволяє (в інтересах інвестора) врахувати ряд допущень, що впливають на рекомендації з ПР.

Фінансові рішення – рішення щодо визначення обсягу та структури коштів, що інвестуються (власних і позикових), забезпечення поточного фінансування наявних коротко- і довгострокових активів (структура власних засобів, позикових засобів, сполучення коротко- та довгострокових джерел.

Важливу роль в управлінні інвестиціями відіграє теорія оптимального портфелю, пов’язана з проблемою вибору ефективного портфелю, який максимізує очікувану доходність за певного, прийнятного для інвестора, рівня ризику. Загальне правило інвестора щодо диверсифікації – необхідно прагнути розподілити вкладення між такими видами активів, які показали за минулі роки: різну щільність зв’язку (кореляцію) із загальноринковими цінами (індексами); протилежну фазу коливання норми прибутку між собою (цін) всередині портфеля

Приймаючи рішення про формування оптимального портфелю, інвестор повинен звертати увагу на очікувану доходність та стандартне відхилення. При визначенні стандартного відхилення портфелю користуються коваріацією – статистичною мірою взаємодії двох випадкових змінних. (наприклад, доходності двох цінних паперів).