4.4.Критерий Найквиста.

Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой частотной характеристике W(ωj) разомкнутой системы.

Возможны два случая: когда разомкнутая система устойчива и когда она неустойчива. В первом случае условие устойчивости замкнутой системы сводится к требованию, чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1,j0). Во втором случае для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы не охватывала точку (-1,j0).

Определим устойчивость разомкнутой системы по критерию Михайлова при Т=0,1:

Запишем передаточную функцию разомкнутой системы:

Произведем замену переменной S на ωj:

Упростим выражение:

Выделим вещественную и мнимую части знаменателя:

Построим годограф Михайлова:

Рисунок 18. Критерий Михайлова для разомкнутой системы.

Из рисунка 18 видно, что разомкнутая система находится на границе устойчивости при параметре Т=0,1(годограф выходит из 0), а значит для устойчивости замкнутой необходимо и достаточно, чтобы график АФЧХ разомкнутой системы не охватил точку (-1,j0).

Построим АФЧХ разомкнутой системы:

Разделим передаточную функцию разомкнутой системы на вещественную(А) и мнимую(В) части числителя и вещественную(С) и мнимую(D) части знаменателя. Выпишем их:

Определим вещественную и мнимую части АФЧХ:

Построим АФЧХ разомкнутой системы:

Рисунок 19. Критерий Найквиста.

Как видно на рисунке 19, АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку (-1,j0), значит условие, необходимое для устойчивости замкнутой системы выполнено.

В данном пункте мы исследовали замкнутую систему по всем четырем критериям и выявили что система будет устойчива при параметре Т равном 0,1.

5.Построение частотных характеристик.

Частотные характеристики описывают установившиеся вынужденные колебания на выходе звена, вызванные гармоническим воздействием на входе.

5.1.ФЧХ.

Рисунок 20. ФЧХ замкнутой системы.

Устраним разрыв в ФЧХ:

Рисунок 21. Устранение разрыва в ФЧХ.

5.2.АЧХ.

Рисунок 22. АЧХ замкнутой системы.

5.3.АФЧХ.

Рисунок 23. АФЧХ замкнутой системы.

5.4.ЛАЧХ.

Рисунок 24. ЛАЧХ замкнутой системы.

5.5.ВЧХ.

Рисунок 25. ВЧХ замкнутой системы.

6.Определение запасов устойчивости.

6.1. Запас устойчивости по амплитуде.

Определим запас устойчивости по амплитуде на графике АФЧХ разомкнутой системы:

Рисунок 26. Определение запаса устойчивости по амплитуде.

Запас устойчивости по амплитуде(h) равен 1.

6.2. Запас устойчивости по фазе.

Определим запас устойчивости по фазе из логарифмического критерия устойчивости Найквиста:

Определим ФЧХ разомкнутой системы:

Рисунок 27. ФЧХ разомкнутой системы.

Устраним разрыв в ФЧХ:

Рисунок 28. Устранение разрыва в ФЧХ.

Построим логарифмический критерий устойчивости Найквиста. Для этого построим и объединим графики ЛАЧХ и ФЧХ для разомкнутой системы:

Рисунок 29. Определение запаса устойчивости по фазе.

Запас устойчивости по фазе(μ) равен 0,61 .