3.2. Операції факторизації та сепарації.

Вхідний сигнал Х(t) динамічної системи має вигляд:

Х(t) = Λ(t) + N(t). (3.1)

Потрiбний вихiдний сигнал У(t), який виражається як деяке відоме (бажане) перетворення вектору корисного сигналу Λ(t), має вигляд:

У(t) = Н{Λ(t)}, (3.2)

де: Н{Λ(t)} - матричний оператор.

На основі узагальненого рівняння Вiнера-Хопфа фізично реалiзуємi керованi багатовимiрнi системи в областi зображення мають вид:

, (3.3)

де: W_j(p) – вектор передаточних функцiй системи;

S_j(p) – вектор взаємних спектральних щiльностей вхiдних та ідеальних вихiдних сигналiв;

– довiльний вектор спектральних щiльностей.

У формулi (3.3) аргумент (р) випущений. Вектор , досi невiдомий, може мати особливостi тiльки у правiй на півплощині параметру р.

Матриця включає спектральнi щiльностi вхiдних сигналiв, якi представляють собою парнi функцiї. Парну функцiю, як і матрицю S, можна представити в виглядi добутку двох матриць, одна з яких включає функцiї, що мають всi полюси та нулi в лiвiй напiвплощинi, а друга матриця - в правiй, тобто S =S+ S ^– .

З врахуванням операції факторизації рiвняння (3.3) має вид:

= . (3.4)

Лiва частина рiвняння (3.4) представляє собою матрицю, функцiї якої мають всi полюси в лiвiй напiвплощинi, оскiльки обидвi матрицi та володiють цiєю властивiстю за визначенням. Другий доданок (3.4) має функцiї, якi мiстять всi полюси в правiй напiвплощинi, оскiльки матриця володiє цiєю властивiстю за визначенням, а S^– має нулi та полюси в правiй напiвплощинi. Перший доданок правої частини рiвняння (3.4) включає матрицю , яка мiстить функцiї, що мають полюси як в лiвiй, так i в правiй пiвплощинi.

Пiсля операцiї сепарацiї маємо:

, (3.5)

де: [S^–]^-1 – обернена матриця факторизованiй матрицi спектральних

щiльностей входу Х;

S_j – матриця взаємних спектральних щiльностей мiж iдеальним

сигналом входу Λ та виходу У;

{S_j[S^–]^-1}₊ – сепарована матриця.

Рiвняння (3.4) з врахуванням (3.5):

. (3.6)

Обидва члени лiвої частини (3.6) мають функцiї, якi мiстять всi полюси в лiвiй напiвплощинi, а обидва доданки правої частини складенi з матриць, якi влючають функцiї, що мiстять всi полюси в правiй напiвплощинi. З врахуванням вимог аналiтичностi та обмеженостi матриць S та S_j можна показати, що права частина рівняння (3.6) обертається в нуль. Тому в кiнцевому видi вихiдне рiвняння для статистичного синтезу має вигляд:

. (3.7)

Схема синтезу багатовимiрної системи керування мiстить наступнi операцiї: факторизацiю рацiональної матрицi спектральних щiльностей, знаходження обернених матриць, обчислення матриці {S_j[S^–]^-1} та виконання операцiї сепарацiї, знаходження результуючої матрицi передаточних функцiй.

Факторизацiя рацiональної матрицi без врахування умов фiзичної реалiзовностi фiльтру виконується достатньо просто. В протилежному випадку рiшення задачi достатньо складне та громiздке, потребує великої спостерегливостi.

В рядi задач пiдвищення точностi розмiрiв матрицю S можна привести до дiагональної форми, дякуючи чому багатовимiрну систему можна представити у виглядi суми h одновимiрних пiдсистем.

Спектральна матриця h - вимiрного вхiдного процесу є симетрична матриця:

.

Використовуючи ортогональне перетворення, одержимо дiагональну матрицю V у виглядi (ω – випущений):

V = ST, (3.8)

де – транспонована матриця ортогональної матрицi Т.

Тодi: V = , (3.9)

де – власнi значення симетричної матрицi S,

що визначаються з умови:

(S - I)Х = 0, (3.10)

де Х – вектор вхiдних впливiв у виглядi матриці стовпця h×1;

I – одинична матриця.

Прирiвнявши нулю визначник |S- I|=0, знаходимо

= 0. (3.11)

Наприклад у випадку двовимiрного об'єкту iз (3.10) та (3.11) виходить:

= 0.

Коренi характеристичного рівняння:

= 0 (3.12)

являються елементами головної дiагоналi матриці:

. (3.13)

Таким чином, при виконаннi окремих умов матриця має достатньо простi елементи, якi визначаються комбiнацiями спектральних щiльностей корисного сигналу та перешкод.

Розглянемо одновимiрне рiвняння Вiнера-Хопфа в комплекснiй областi, яке має вигляд (аргумент р – випущений):

S_xxW - S_y = f, (3.19)

де S_xx – спектральна щiльнiсть суми корисного сигналу S_ та перешкод S_N;

S_y– взаємна спектральна щiльнiсть iдеального вхiдного сигналу та вихiдного.

Пiсля факторизацiї спектральної щільності:

. (3.20)

Доведено, що:

W = . (3.21)

І являє собою унiверсальний алгоритм визначення передаточних функцiй стацiонарних лiнiйних оптимальних систем. Однак слабкою ланкою є визначення взаємної спектральної щiльностi, яка вважається вiдомою. Тому її слiд визначити або експериментально, але тодi треба знати корисний сигнал на входi динамiчної системи, або аналiтично, наприклад, за теоремою Вiнера-Хiнчина, коли для некорельованих корисного сигналу та перешкод можна записати:

S_y =Н S_. (3.22)

З врахуванням того, що S_ = S_xx - S_N, де S_N - спектральна щiльнiсть перешкод, з рiвняння (3.2) маємо:

. (3.23)

Права частина рiвняння (3.23) дорiвнює нулю, тому оптимальна передаточна функцiя динамiчної системи має вигляд:

. (3.24)

Якщо S_y =H( S_ + S_N ), де S_N – взаємна спектральна щiльнiсть перешкоди та корисного сигналу, то з рiвняння (3.20) виходить що:

. (3.25)

В випадку наявностi комплексно-спряжених коренiв вихiдний вираз для операцiї сепарацiї у вiдповiдностi з (3.24) має вигляд:

. (3.26)

У випадку iснування дiйсних коренiв у вiдповiдностi з виразом (3.2), коли Н = 1, визначили вихiдне рiвняння для виконання операцiї сепарації:

, (3.27)

яке у вiдповiдностi з результатом роботи можна представити у виглядi:

, (3.28)

де смуги, якi входять в суму, знаходяться в нижнiй напiвплощинi. Значення параметру _i, наприклад, для полiнома другого порядку знаходимо шляхом вирiшення системи рiвнянь:

.

Виконавши операцiю сепарації:

, (3.29)

на основi рiвняння (3.24) отримаємо оптимальну передаточну функцiю замкнутої системи:

W(p) = 1 - . (3.30)

Другий член рiшення представляє передаточну функцiю вiдносної помилки та визначається вiдношенням квадратного кореня з спектральної щiльностi перешкоди до факторизованої спектральної щiльностi суми сигналу та перешкоди.