9.5. Адаптивні фільтри
На відміну від аналогових фільтрів, характеристики цифрових фільтрів можуть бути легко змінені шляхом зміни коефіцієнтів. Тому цифрові фільтри привабливі в системах підвищення точності вимірювань, комунікаційних додатках, таких як адаптивний еквалайзінг, компенсація відлуння, придушення шуму і т.д. Основна ідея адаптивної фільтрації представлена на рис. 9.14.
Рисунок 9.14. — Адаптивний фільтр.
Мета процесу адаптації полягає в перетворенні (фільтруванні) вхідного сигналу x(n) таким чином, щоб він відповідав опорному сигналу d(n) з найменшою похибкою. Для генерації сигналу помилки опорний сигнал d(n) віднімається з відфільтрованого сигналу y(n). Сигнал помилки керує алгоритмом адаптації, що генерує коефіцієнти фільтра, які мінімізують сигнал похибки між опорним і вхідним. Найбільш популярними алгоритмами є метод найменших квадратів (least-mean-square) і рекурсивний метод найменших квадратів (recursive-least-squares).
Адаптивний фільтр застосовують для компенсації ефектів амплітудних і фазових спотворень у каналі передачі. Включає два незалежні режими навчання та роботи. В першому режимі навчання мінімізується похибка між заданою апріорі навчальною послідовністю виходу, що представляє відомий зразок даних, і фактичною послідовністю на виході фільтра (визначеною заданою навчальною послідовністю входу). Зміна коефіцієнтів адаптивного фільтра відбувається за допомогою алгоритму адаптації під впливом вказаної похибки. Алгоритм адаптації корегує коефіцієнти фільтра для одержання відповідності між прийнятими даними і даними навчальної послідовності. Зміна коефіцієнтів фільтра приводить до зменшення похибки і в той термін часу, коли вона досягає заданого мінімального рівня, відбувається переключення комутаторів. Тоді процес навчання закінчено і починається робочий, переключенням комутаторів в другу позицію. Фільтр налаштований на передачу робочих даних. Режими навчання і роботи виконуються окремо. Під час режиму навчання робочий режим неможливий.
Якщо навчальна послідовність змінюється за часом, необхідно періодично переключати систему в режим навчання. Переключення комутаторів відбувається тоді, коли за рахунок нестаціонарності процесу модель не відповідає заданій послідовності. Знову починається процес нового навчання. Найбільш ефективним є суміщення режимів навчання та робочого, що приводить до дуальності управління.
9.6. Вплив періоду дискретизації на динаміку електронної системи
Цифровий фільтр (ЦФ) – пристрій, проникний або пригнічуючий задані в цифровій формі сигнали в певній смузі частот.
На відміну від аналогових фільтрів, де вхідний сигнал змінюється безперервно, в цифрових фільтрах вхідний сигнал представляється в дискретній формі, тобто приймає нове значення через інтервал дискретизації. Величина зворотна цьому інтервалу – частота дискретизації, - в більшості практичних випадків повинна перевищувати смугу частот вхідного сигналу в 4...8 раз. Дискретні сигнали природно виникають в тих випадках, коли джерело повідомлень видає інформацію у фіксовані моменти часу. Наприклад, пристрій вимірювання температури, пов'язаний з міським світловим табло, посилає сигнал на це табло в певні проміжки часу. В інших проміжках на табло висвічуються тиск, час або інші параметри. Тут яскраво виявляється характер дискретного сигналу: в паузах немає ніяких відомостей про зміну температури. Таким чином, ми маємо справу не з безперервною зміною температури, а лише з її значеннями, відліченими через певні проміжки часу. Подібний процес називається дискретизацією безперервного сигналу.
Властивість дискретного сигналу – існувати лише в певні проміжки часу – дозволяє організувати передачу по одній і тій же лінії (радіоканалу, парі дротів, оптичному волокну) повідомлень від декількох різних джерел. Дискретні сигнали можна задавати графіками, як це показано на мал. 9.15, формулами, наприклад iд(t)=sin(2 f nT), у вигляді таблиць дискретних значень або у вигляді комбінації цих способів.
Рисунок 9.15. Варианти графічного завдання сигналу.
Перевага ЦФ перед аналоговими:
Цифрові фільтри (ЦФ) в порівнянні з аналоговими мають такі переваги.
1. ЦФ можна виконати в мікроелектронному виконанні, наприклад у вигляді одної інтегральної схеми.
2. Якщо для обробки сигналів в реальному масштабі часу використовується цифрова ЕОМ тоді ЦФ можна запрограмувати на цій же машині.
3. ЦФ мають високу завадостійкість, зв¢язану з використанням цифрових схем.
4. Висока точність ЦФ визначається похибкою округлення при арифметичних операціях в ЕОМ, а точність в аналогових схемах залежить від допусків на елементи схем і перешкод.
5. Зміна характеристик ЦФ можлива шляхом зміни програми або її частини, параметри можна змінити шляхом зміни коефіцієнтів різницевого рівняння.
6. Напруга живлення, коливання температури, старіння елементів змінюють характеристики аналогових фільтрів, але не впливають на програми які знаходяться в ЕОМ, так як характеристики фільтрів залишаються постійними.
Висока стабільність характеристик
Простота перебудови частотної характеристики
Можливість в одному пристрої виконати відразу дещо ЦФ
Переваги ЦФ особливо помітні в діапазоні низьких та інфранизьких частот особливо при біомедичних дослідженнях. Низькочастотні, високочастотні, полосові та загороджуючі фільтри можуть бути створені комбінацією двох фільтрів низької частоти та всечастотного. Математичні моделі фільтрів діляться на дві великі групи БІХ і КІХ фільтри.
КІХ фільтри мають кінцеве число ненульових значень імпульсної характеристики, це може бути лише тоді, коли всі коефіцієнти А дорівнюють нулю. Прикладами КІХ фільтрів являються просте та зважене середнє, де для усереднення не використовується експоненційне середнє не враховуються властивості електронної системи.
БІХ фільтри мають нескінчене число ненульових значень імпульсної характеристики, і діляться на дві групи нефорсованих і форсованих фільтрів. В першому випадку враховуються насамперед властивості електронної схеми і важливими являються показники не тільки стійкості фільтра але і показники якості перехідних процесів, особливо при підвищенні порядку рівняння. Моделі таких БІХ фільтрів розраховують за відомими методиками: Баттерворта, Чебишева і Бесселя. Друга група БІХ фільтрів представляє собою форсовані еліптичні фільтри являється комбінацією двох вище згаданих. Перетворення вхідного сигналу, як в КІХ фільтрах прискорює процеси обчислень і не впливає на стійкість, але впливає на показники якості перехідних процесів, але врахування властивостей електронної схеми (як експоненційне середнє) уповільнює процеси обчислень і впливає як на стійкість так і показники якості перехідних процесів.
При розгляді дискретних сигналів необхідно зрозуміти суть теореми Котельникова. В 1933 році в роботі “Про пропускну спроможність “ефіру” і дроту в електрозв'язку” В.А. Котельников довів теорему, що стала основоположному в теорії і техніці цифровому зв'язку. Вона свідчить: якщо безперервний сигнал x(t) має спектр, обмежений частотою FГР, то він може бути повністю і однозначно відновлений по його дискретних відліках, узятих через інтервали часу T=1/2FГР, тобто з частотою fд=2Fгр.
Рисунок 9.16. Накладення сигналів і спектрів.
Справедливість теореми легко побачити з рис. 9.16 в) і 9.16 а). Частота дискретизації безперервного сигналу не повинна бути менше подвоєної ширини спектру: fд≥2Fгр інакше відбудеться накладення спектрів (рис. 9.16. б) і буде неможливо за допомогою фільтру нижніх частот виділити спектр початкового безперервного сигналу.
Способи реалізації ЦФ діляться на тимчасові і частотні. До тимчасових відносяться ЦФ з кінцевою імпульсною характеристикою (КІХ-фільтри) і з нескінченною імпульсною характеристикою (БІХ-фільтри). В таких ЦФ синусоїдальний сигнал, частота якого розташовується в смузі частот ЦФ, поданий на вхід ЦФ у вигляді дискретних відліків, зберігає свою синусоїдальну форму. До частотних способів реалізації ЦФ відносяться фільтри з дискретним перетворенням Фурье (ДПФ) і швидким перетворенням Фурье (БПФ). В таких ЦФ при подачі на вхід синусоїдального сигналу на одному з виходів спостерігатиметься сигнал постійного рівня, тобто такі ЦФ здійснюють одночасно і детектування сигналу.
КІХ-фільтри мають полюси (коріння знаменника) рівні нулю і характеризуються кінцевою імпульсною характеристикою. КІХ-фільтри можуть мати більш різноманітні АЧХ, ніж БІХ-фільтри. Важливою особливістю КІХ-фільтрів є те, що фазова характеристика може бути строго лінійна j(w) = - const w. Якщо ця умова виконана, то імпульсна характеристика фільтру володіє властивістю симетрії.
Якщо на вхід БІХ-фільтру подати відлік одиничної амплітуди, то вихідні відліки формуватимуться як сума затриманих відліків з різними терезами а1, а2.., які знову через суматор подаються на пристрій затримки. Процес може тривати нескінченно, звідки і назва фільтру.
Для більшості практичних випадків основною характеристикою будь-якого фільтру є його частотна характеристика. Перетворення Фурье від частотної характеристики називається імпульсною характеристикою фільтру.
До частотних способів реалізації ЦФ відносяться фільтри з дискретним перетворенням Фурье (ДПФ) і швидким перетворенням Фурье (ШПФ), тут аналізується набір з n відліків.
При аналізі і синтезі дискретних і цифрових пристроїв широко використовується Z – перетворення, що грає по відношенню до дискретних сигналів таку ж роль, як перетворення Фурье і Лапласа по відношенню до безперервних сигналів. Вельми широко і конструктивно з використанням Z – перетворення проводиться синтез цифрових фільтрів, а реалізація їх здійснюється і програмно.
В останні роки стали інтенсивно розроблятися регулятори на базі нечіткої логіки. Системи з такими регуляторами забезпечують кращі характеристики в умовах дії перешкод. До складу систем входять аналогові і цифрові фільтри. Проектуючи фільтр розроблювач зіштовхується з необхідністю узгодження вимоги до обробки сигналу з тим, що можна реалізувати наявними засобами.
Одним з розповсюджених підходів при проектуванні цифрових фільтрів з нескінченною імпульсною характеристикою (БІХ) є побудова аналогової передатної функції і перетворення її в цифровий вид. Така методика найбільш доцільна при проектуванні фільтрів з типовими характеристиками, таких, як фільтри нижніх і верхніх частот, смугові та загороджувальні, для яких мається добре розроблений апарат аналогової фільтрації.
Z - перетворення дискретного сигналу