3. Задачі фільтрація вимірювальної інформації

Нехай на вхід декотрої лінійної системи з передаточною функцією H(p) подається адитивна суміш Z(t) = y(t) + (t), де y(t) – корисний сигнал довільної форми, а(t) – перешкода (білий шум). До вихідної системи H(p) додамо «бажану» систему H₀(p), котра буде здійснювати потрібне перетворення вхідного сигналу «в ідеалі», тобто при відсутності перешкоди . Зрозуміло, що задане перетворення вхідного сигналу системою H(p) буде тривати оптимально, якщо середньоквадратична помилка:

,

де:

M – знак математичного очікування.

Із виразу для неузгодженості e(t) слідує, що завдання потрібного перетворення корисного сигналу на вході y(t) при наявності перешкоди  не є тривіальним, тобто не приходить до тотожності H(p)=H₀(p). В той же час це завдання у викладеній вище постановці є достатньо загальною, тому що:

при H₀ = p^k H(p) – диференціатор k-го порядку;

при H₀= 1/p H(p) – інтегратор;

при H₀ = e^pT H(p) – прогнозатор (екстраполятор);

при H₀ = 1 = H(p) – фільтр, згладжуючий перешкоду .

Отже, схема безперервної фільтрації або згладжування перешкоди  подана в загальному вигляді на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Узагальнена схема безперервного фільтра.

Дійсно, якщо корисний сигнал y(t) є регулярним, то тут, в свою чергу, можливі наступні окремі випадки.

1. Форма корисного сигналу відома: , де – випадкова амплітуда; (t) – відома функція. Тоді і фільтр являє собою послідовне з’єднання узгодженого фільтра F(p)/p (це аналоговий пристрій, на виході котрого співвідношення «сигнал/шум» є максимально можливим) і підсилювача з коефіцієнтом підсилення (p), залежним від характеристик вхідного сигналу та перешкоди:

де G – інтенсивність білого шуму . При цьому досягається мінімум середньоквадратичної помилки:

(3.31)

Рис. 3.3. Схема оптимальної безперервної фільтрації при відомій формі вхідного сигналу

3. Форма корисного сигналу невідома:

а) завжди можна знайти таку ортогональну систему функцій, що , де U_i – випадкова амплітуда, а _I – відома функція, причому за умовою , . Безумовно, що в цьому випадку оптимальна система фільтрації являє собою паралельне з’єднання узгоджених фільтрів F_i(p)/p на виходах котрих підключені підсилювачі _i(p).

Мінімум середньоквадратичної помилки складе при цьому

Рис. 3.3. Схема оптимальної фільтрації при невідомій формі сигналу.

б) кожну, заздалегідь невідому, форму сигналу y(t) можна відтворити за допомогою лінійного диференціального рівняння

; , (3.32)

з початковими умовами в тому числі і при . Насправді, з (3.32) витікає .

Тоді

Або

; (3.33)

де (t) = exp d і, таким чином, в залежності від значення a(t) форма y(t) може бути будь – якою, наприклад:

Для формування будь – якої, наперед не заданої, форми (t) корисного сигналу y(t) необхідний аналоговий пристрій, з алгоритмом функціонування (3.32). Такий пристрій являє собою інтегратор, охоплений позитивним зворотнім зв’язком і на вхід котрого подається нульовий сигнал. На інтеграторі можуть бути встановлені випадкові початкові умови. Тепер, маючи пристрій формування функції (t), можна скористатися схемою оптимальної фільтрації при відомій формі корисного сигналу y(t). Тоді

(3.34)

Диференціюючи рівняння (4.4) за часом, отримаємо:

(3.35)

Помножимо останнє рівняння на  і віднімемо від нього (3.34), помножене на ¢, в результаті маємо:

(3.36)

Для того, щоб безперервний фільтр, побудований за (3.36), був оптимальним, необхідно функції  і  виразити через мінімум середньоквадратичної помилки ² та характеристики перешкоди. Це може бути зроблено через (3.31). = G/ ². Остаточно:

(3.37)

Звідки слідує схема оптимального фільтру показана на рис. 4.6.

Рис. 3.4. Оптимальний безперервний фільтр (фільтр Калмана)

Остання схема оптимальної фільтрації складається з формуючого фільтра та попереднього підсилювача з коефіцієнтом підсилення ²(t)/G охоплених негативним зворотнім зв’язком. Цей результат був отриманий Калманом та названий в його честь. Оскільки фільтр Калмана описується диференційним рівнянням, то у дискретному варіанті він повинен мати нескінченну пам’ять. Всі варіанти оптимальної фільтрації, попередні фільтру Калмана, можуть бути отримані з кінцевою пам’яттю Т, для цього достатньо замість інтервалу [t₀; t] розглядати кінцевий інтервал [t-T; t].

3. В задачах збору та обробки вимірювальної інформації корисний сигнал наряду з регулярною частиною має, на відміну від попереднього, і нерегулярну складову Y⁰:

, (3.38)

являючи собою випадкову функцію з математичним очікуванням m_Y⁰=0 і котра не може бути уявлена лінійною комбінацією порівняно невеликого числа відомих детермінованих функцій з випадковими коефіцієнтами. Більшості технологічних об’єктів контролю та керування присутня саме нерегулярність корисного сигналу y(t).

Розглянемо оптимальну систему фільтрації і для цього випадку, коли підлегла фільтрації суміш:

.

є стаціонарною випадковою функцією, а потрібний вихідний сигнал h_T(t) є стаціонарно випадкова функція, стаціонарно пов’язана з Z(t).

Уявимо стаціонарну систему фільтрації, де заради узагальненості  є адитивна перешкода довільної форми. Тому що синтез оптимальних систем простий для перешкоди у вигляді білого шуму. То зі складу H(p) необхідно виділити складову H_of, котра перетворює нерегулярну вхідну суміш Z(t) з довільною перешкодою в білий шум.

Згідно спектральній теорії стаціонарних випадкових процесів для лінійної стаціонарної системи можна записати:

, (3.39)

де S z(), Sv() – спектральна щільність відповідних сигналів.

Рис. 3.5. Стаціонарна система фільтрації з відбілюючим фільтром.

Оскільки H_of(j) є відбілюючий фільтр, то доцільно припустити що K_v() = 2(t - ) – білий шум з інтенсивністю G = 2 (ідеальний білий шум). Тоді для такого білого шуму S_v () = G/2= 1.

Із (3.39) слідує, що

, (3.40)

де дійсний вираз S_z(v) завжди можна уявити в вигляді добутку спряжених нелінійних виразів:

(3.41)

Останні дві рівності дають:

(3.42)

Зробивши зворотній перехід j = p отримаємо:

, (3.43)

Де S_x(p)₊ - має нулі в лівій напівплощині змінної p або в верхній напівплощині змінної . Це значить, що відбілюючий фільтр з передаточною функцією (3.43) (або частотною характеристикою (3.42) найбільш просто реалізується та стійкий.

Відомо, що система фільтрації стає оптимальною за точністю, якщо частотна характеристика системи:

. (3.44)

задовольняє інтегральному рівнянню Вінера – Хопфа, котре для розгляданої стаціонарної системи з нескінченною пам’яттю має вигляд:

, (3.45)

Де g(t)=^-1[H(j)] – шукана вагова функція оптимальної за точністю системи фільтрації з неперервною областю спостереження. Система, вагова функція котрої задовольняє (3.45), називається безперервним фільтром Вінера з нескінченною пам’яттю.

Запишемо рівняння (3.45) в Фур’є – виразах:

. (3.46)

або з врахуванням (3.44)

. (3.47)

Підставимо в (3.47) рівняння (3.42) і виконаємо факторизацію (3.41)

.

Вирішимо відносно невідомої :

, (3.48)

S_hTZ() є дрібно – раціональною функцією, тому і (3.48) має той же вигляд, його можна розкласти на суму елементарних дріб.

(3.49)

Лівий доданок вміщає суму елементарних дріб, у котрій всі полюси у верхній напівплощині змінної , а другий містить всі дроби з полюсами в нижній напівплощині. Операція сепарації дозволяє виділити з (3.48) реалізуєму (стійку) частину:

.

Тоді шукана частотна характеристика безперервного фільтра Вінера:

(3.50)

Алгоритм (3.50) носить універсальний характер, тому що вид задачі в ньому локалізований для S_hTL() між фактичним сигналом вході Z(t) та ідеальним сигналом на виході h_T(t). Для розглянутої задачі оптимальної фільтрації вимірювальної інформації коли h_T(t)=y(t) і при наявності адитивної перешкоди: S_x()=S_y()+S_(), взаємна спектральна щільність має вигляд:

. (3.51)

Шукані характеристичні функції фільтра Вінера набувають реалізуємих обрисів:

або при j = p :

. (3.52)

При цьому мінімальна середньоквадратична похибка буде:

. (3.53)

Працездатність системи з рис. 3.6 можна підвищити, якщо в ній буде негативний зворотній зв’язок. Тоді отримаємо замкнутий фільтр Вінера, де:

, (3.54)

а H(p) визначена у (3.54).

Рис. 3.6. Безперервний фільтр Вінера з негативним

зворотнім зв’язком.

Коли  – білий шум, то схему рис. 3.6 називають канонічною. Теоретично вирішена вище задача є окремим випадком загальної задачі оптимального перетворення сигналу автоматичною системою. Більш вузька задача – фільтрація вимірювальної інформації, де вихідний сигнал датчика є стаціонарним випадковим; вирішується теорією стаціонарних випадкових процесів. Ось чому фільтри Вінера називають статистичними. Якщо інтеграл Вінера – Хонфа невласний, то область спостережень має розмір [- ∞; + ∞].

Такий нереальний фільтр корисний для отримання асимптотичної оцінки фільтрації і порівняння похибки згладжування в реальних фільтрах. Фільтр Вінера (3.52) реалізується, коли розміри області спостереження [t-T; T], де T – об’єм пам’яті цього статистичного фільтра. Але точність оцінки сигналу та перешкоди дуже наближена. Тоді задачу фільтрації вирішують для найбільш поширеного вузького набору статистичних характеристик.

П редставимо структуру електронної системи в такому виді:

Рис. 3.9. Структурна схема електронної системи.

Контрольні запитання

1. Що представляє собою перешкода (білий шум). В чому її відмідність від інших перешкод?

2. Яку перешкоду називають адитивною?

3. Які бувають завади? Обгругтувати їх відмінність один від одного.

4. В яких межах лежить ступінь регулярності сигналів промислових систем керування у реальних виробничих умовах?

5. В чому полягає сенс виконання операцій факторизації та сепарації?

6. Навіщо використовують перетворення Лапласа вхідного сумарного і вихідного сигналів?

7. Розповісти принцип фільтрації Вінера і Калмана.

8. Як перейти від параметру р до параметру  ?

9. Яке фізичне значення мають полюси функцій?

10. В чому особливість фільтрації вимірювальної інформації?

11. Навести схему фільтрації з відбілюючим фільтром.

12. Записати рівняння частотної характеристики безперервного фільтру Вінера.

13. Обґрунтуйте чому фільтри Вінера називають статистичними. Як змінюється схема безперервної фільтрації або згладжування перешкоди при різних значеннях вхідного сигналу?