3. Синусоидальная функция (гармоника)

где ω - круговая частота; Ψ - начальная фаза. Умножив на амплитуду напряжения U_m или тока I_m ,полу­чим электрические сигналы (рис.5 а, б)

где - начальная фаза напряжения, а - тока. Периодический сигнал сложной формы можно представить совокуп­ностью элементарных гармоник. На рис.6 показано разложение прямо­угольного знакочередующегося сигнала (рис.5 а) на гармоничес­кие составляющие: рис.6 б - аппроксимация тремя гармониками с частотами , 3 и 5 и амплитудами соответственно , , ; рис.6 в - аппроксимация восьмью нечетными гармоникам с первой по тринадцатую.

Реакция системы на гармонические сигналы определяет ее час­тотную характеристику. Аналитическое представление периодических сигналов дается рядом Фурье, а непериодических - интегралом Фурье, дальнейшим обобщением которого является суперпозиция гар­моник с нарастающими амплитудами - интеграл Лапласа.

Таким образом, представление сложной цепи в виде эквива­лентной схемы, сложенной из идеальных элементов базового набора, и представление сложных сигналов совокупностью элементарных позволяет составить полную математическую модель задачи анализа цепей.

3. Метод комплексных амплитуд

При формулировке математических моделей и проведении расче­тов электрических цепей широко используется метод комплексных ампли уд или символический метод, предложенный Ч. П. Штейнметцем и заключающийся в применении комплексных чисел. Линейные математические операции (сложение, вычитание, умножение или деление на постоянную величину, дифференцирование и интегрирование) над гармоническими функциями приводят к гармоническим функциям той же частоты, следовательно, знание амплитуды и начальной фазы яв­ляется достаточным для проведения всех необходимых действий, а эта информация заложена в комплексном числе.

Сущность метода комплексных амплитуд заключается в сле­дующем.

Синусоидальной функции времени

ставится в соответствие комплексная гармоническая функция времени

Здесь - мнимая единица.

Эта функция разбивается на два сомножителя

(9)

и не зависящая от времени величина

называется комплексной амплитудой функции , a и - соответственно модулем и аргументом комплексной амплитуды. Функция, представленная выражением (9), может быть изобра­жена на комплексной плоскости в виде радиуса - вектора, вращаю­щегося в направлении, противоположном направлению вращения часовой стрелки с угловой скоростью ω (рис.7 а). Поэтому множи­тель называют множителем вращения. Угол, образованный вектором о положительной полуосью вещественных значения, есть начальная фаза его длина в принятом масштабе выражает величину .

Перейдя к действующему значению, получим

Здесь - комплексное действующее напряжение. Аналогич­но синусоидальному току

можно поставить в соответствие комплексный синусоидальный ток и, следовательно, комплексные действующий ток

Величины и также могут быть показаны на комплексной плоскости вращающимися векторами аналогично вектору например, на рис.7 б показаны векторы действующих значений со сдвигом фаз , соответствующим рис.5 б. Точки над вектора­ми , или черта снизу (U , I ) - символы, указывающие, что эти величины есть комплексные числа.

При проведении математических операций над комплексными сигналами используют также тригонометрическую и алгебраическую формы записи комплексных чисел

Модуль комплексного сигнала

где -- комплексно-сопряженный сигнал.

Аргумент комплексного сигнала

Из формулы Эйлера следует, что

Кроме того, очевидно, что

Операции сложения, умножения на постоянную величину К . дифференцирования и интегрирования, выполненные над сигналами в линейных системах при комплексной форме записи:

изменяют лишь комплексную амплитуду, сохраняя неизменным .

Таким образом, при символическом методе анализа линейных цепе» (т.е. цепей, состоящих из линейных элементов), возбуждае­мых синусоидальными напряжениями (токами), вводится соответст­вие вида: оригинал - комплексная величина (изображение)

После проведения всех необходимых математических операции над комплексными изображениями можно восстановить оригинал по следующей схеме:

При записи интегро-дифференциальных уравнений электрической цепи в комплексных изображениях операторы дифференцирования и интегрирования заменяют множителями по схеме

,

Это приводит к переходу от интегро-дифференциальных уравнений в оригиналах к алгебраическим уравнениям в символических (комплекс­ных) изображениях. Законы Кирхгофа в комплексной форме примут следующий вид:

(9)

(10)

а уравнения (7) и (8) перепишутся так

(11)

Использование метода комплексных амплитуд позволяет в компактной форме выразить основные законы и свойства однофазных це­пей переменного тона в установившемся режиме (табл.2).