Казахский гуманитарно-юридический инновационный университет
Методическое указание
для выполнения самостоятельной работы
студентов под руководством преподавателя
по дисциплине «Математический анализ»
Семей, 2014 г
Методическое указание для выполнения самостоятельной работы студентов под руководством преподавателя составлено для студентов 1 курса специальности 5В070400 Вычислительная техника и программное обеспечение
Составитель старший преподаватель информатики и математики Мукашева Г.Ж.
Задания по СРСП выполняется аккуратно в отдельных тетрадях. Перед решением каждой задачи необходимо полностью выписать ее условие. В том случае, когда формулировка задачи одна для всех вариантов, а различаются лишь исходные данные, необходимо переписывая общее условие задачи, заменять общие данные конкретными, соответствующими своему варианту. Текст работы должен содержать все необходимые расчеты и пояснения. Задания сдается преподавателю для проверки по графику.
Тематика заданий срсп
|
|
Дифференциальное исчисление функций одной переменной |
|
|
Интегральное исчисление функций одной переменной. |
|
|
Функции многих переменных. |
|
|
Обыкновенные дифференциальные уравнения |
|
|
Кратные интегралы |
|
|
Теория рядов. |
Раздаточные материалы срсп №1 Дифференциальное исчисление функций одной переменной
ОБРАЗЕЦ РЕШЕНИЯ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ.
Задание 1. Вычислить приращение функции
в точке
,
соответствующее приращению аргумента
.
Решение:
Воспользуемся формулой:
.
Для данной функции получим:
.
Ответ:
.
Задание 2. Найти производные функций:
2.1.
Решение:
.
. 2.2.
.
Решение:
Используем
правило дифференцирования сложной
функции:
.
.
Заметим,
что этот результат можно было получить,
представив функцию в виде
.
2.3.
.
Решение:
Воспользуемся
правилом дифференцирования произведения
двух функций:
.
Получим
.
2.4.
.
Решение:
Снова
используем формулу производной сложной
функции:
.
Получим:
.
Задание
3. Продифференцировать неявно заданную
функцию
.
Решение:
Продифференцируем
обе части данного уравнения по переменной
,
учитывая при этом, что
является функцией аргумента
.
Получим:
.
Из полученного равенства выразим
производной
:
,
откуда
.
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
Решение:
Используем
правило дифференцирования функции,
заданной параметрически:
.
Получим:
.
Задание
5. Вычислить с помощью дифференциала
приближённое значение выражения
.
Решение:
Используем
приближённое равенство:
,
верное при малых значениях
.
Откуда:
.
Преобразуем
сначала исходное выражение:
.
Положим
,
,
.
Производная равна:
,
.
Окончательно имеем:
.
Задание
6. Найти вторую производную функции
.
Решение:
Сначала
находим первую производную:
.
Вычисляем
вторую производную:
.
Задание
7. Составить уравнения касательной и
нормали к графику функции
в точке
.
Решение:
Запишем
уравнение касательной:
.
В нашем случае
,
.
Подставляем в уравнение:
,
откуда
- уравнение касательной.
Запишем
уравнение нормали:
.
Подставив в это уравнение числовые
данные:
,
откуда
- уравнение нормали.
Задание
8. Найти производную функции
с помощью логарифмического дифференцирования.
Решение:
Запишем
общую формулу логарифмической производной:
.
В нашем случае:
Задание
9. Исследовать функцию и построить ее
график:
Решение.
Функция
определена и непрерывна в интервале
(0;+). В граничной
точке
области определения функция имеет
бесконечный разрыв, так как
.
Так
как в точке
функция имеет бесконечный разрыв, то
прямая
является вертикальной асимптотой.
Найдем уравнение наклонной асимптоты
(если
она существует).
;
.
(При нахождении пределов воспользовались правилом Лопиталя).
Итак,
и уравнение асимптоты
.
Таким образом, график имеет в качестве
асимптот оси координат.
Найдем производную функции и критические точки:
.
Стационарная критическая точка:
.
Исследуем знак производной на
интервалах(0;е) и (е;).
е
0
х
+
-
Составим таблицу:
x
(0;e)
e
(e;+)
y`
+
0
-
y
возрастает
max
убывает
Экстремум
функции:
.
Найдем вторую производную и значения х, при которых график может иметь точку перегиба:
,
при
.
+
-
и
:
-
+
0
х
x
(0;
)
4,48
(
;)
y``
-
0
+
график
выпуклый
точка перегиба
вогнутый
Составим таблицу:
y(
)=3/(
)
0,33
График
пересекает ось абсцисс в точке (1;0). Точек
пересечения с осью ординат нет. Строим
эскиз графика функции:
е
y
1
х
е
Задание
10. Найти наибольшее и наименьшее значение
функции
на отрезке
.
Решение:
Найдём
область определения функции:
.
Далее, продифференцируем функцию:
.
Найдём критические точки:
.
Одна из них,
,
принадлежит рассматриваемому промежутку.
Определим значение функции в границах
отрезка и в этой точке:
.
Таким образом,
.
Вариант № 1.
Задание 1. Вычислить приращение функции
в точке
,
соответствующее приращению аргумента
.
Задание 2. Найти производные функций:
2.1.
.
2.2.
.
2.3.
.
2.4.
.
Задание
3. Продифференцировать неявно заданную
функцию
.
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
Задание
5. Вычислить с помощью дифференциала
приближённое значение выражения
.
Задание
6. Найти вторую производную функции
.
Задание
7. Составить уравнения касательной и
нормали к графику функции
в точке
.
Задание
8. Найти производную функции
с помощью логарифмического дифференцирования.
Задание
9. Исследовать функцию
и построить схематически её график.
Задание
10. Найти наибольшее и наименьшее значение
функции
на отрезке
.
Вариант № 2.
Задание 1. Вычислить приращение функции
в точке
,
соответствующее приращению аргумента
.
Задание 2. Найти производные функций:
2.1.
.
2.2.
.
2.3.
.
2.4.
.
Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию:
.
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
Задание
5. Вычислить с помощью дифференциала
приближённое значение выражения
.
Задание
6. Найти вторую производную функции
.
Задание
7. Составить уравнения касательной и
нормали к графику функции
в точке
.
Задание
8. Найти производную функции
с помощью логарифмического дифференцирования.
Задание
9. Исследовать функцию
и построить схематически её график.
Задание
10. Найти наибольшее и наименьшее значение
функции
на отрезке
.
Вариант № 3.
Задание 1. Вычислить приращение функции
в точке
,
соответствующее приращению аргумента
.
Задание 2. Найти производные функций:
2.1.
.
2.2.
.
2.3.
.
2.4.
.
Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию:
.
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
Задание
5. Вычислить с помощью дифференциала
приближённое значение выражения
.
Задание 6. Найти вторую производную функции .
Задание
7. Составить уравнения касательной и
нормали к графику функции
в точке
.
Задание
8. Найти производную функции
с помощью логарифмического дифференцирования.
Задание
9. Исследовать функцию
и построить схематически её график.
Задание
10. Найти наибольшее и наименьшее значение
функции
на отрезке
.
Вариант № 4.
Задание 1. Вычислить приращение функции
в точке
,
соответствующее приращению аргумента
.
Задание 2. Найти производные функций:
2.1.
.
2.2.
.
2.3.
.
2.4.
.
Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию:
.
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
Задание
5. Вычислить с помощью дифференциала
приближённое значение выражения
.
Задание
6. Найти вторую производную функции
.
Задание
7. Составить уравнения касательной и
нормали к графику функции
в точке
.
Задание
8. Найти производную функции
с помощью логарифмического дифференцирования.
Задание
9. Исследовать функцию
и построить схематически её график.
Задание
10. Найти наибольшее и наименьшее значение
функции
на отрезке
.
Вариант № 5.
Задание 1. Вычислить приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента .
Задание 2. Найти производные функций:
2.1.
.
2.2.
.
2.3.
.
2.4.
.
Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию:
.
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
Задание
5. Вычислить с помощью дифференциала
приближённое значение выражения
.
Задание
6. Найти вторую производную функции
.
Задание
7. Составить уравнения касательной и
нормали к графику функции
в точке
.
Задание
8. Найти производную функции
с помощью логарифмического дифференцирования.
Задание
9. Исследовать функцию
и построить схематически её график.
Задание
10. Найти наибольшее и наименьшее значение
функции
на отрезке
.
Вариант № 6.
Задание 1. Вычислить приращение функции
в точке
,
соответствующее приращению аргумента
.
Задание 2. Найти производные функций:
2.1.
.
2.2.
.
2.3.
.
2.4.
.
Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию:
.
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
Задание
5. Вычислить с помощью дифференциала
приближённое значение выражения
.
Задание
6. Найти вторую производную функции
.
Задание
7. Составить уравнения касательной и
нормали к графику функции
в точке
.
Задание
8. Найти производную функции
с помощью логарифмического дифференцирования.
Задание
9. Исследовать функцию
и построить схематически её график.
Задание
10. Найти наибольшее и наименьшее значение
функции
на отрезке
.
Вариант № 7.
Задание 1. Вычислить приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента .
Задание 2. Найти производные функций:
2.1.
.
2.2.
.
2.3.
.
2.4.
.
Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию:
.
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
Задание
5. Вычислить с помощью дифференциала
приближённое значение выражения
.
Задание
6. Найти вторую производную функции
.
Задание
7. Составить уравнения касательной и
нормали к графику функции
в точке
.
Задание
8. Найти производную функции
с помощью логарифмического дифференцирования.
Задание
9. Исследовать функцию
и построить схематически её график.
Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .
Вариант № 8.
Задание 1. Вычислить приращение функции
в точке
,
соответствующее приращению аргумента
.
Задание 2. Найти производные функций:
2.1.
.
2.2.
.
2.3.
.
2.4.
.
Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию:
.
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
Задание
5. Вычислить с помощью дифференциала
приближённое значение выражения
.
Задание
6. Найти вторую производную функции
.
Задание
7. Составить уравнения касательной и
нормали к графику функции
в точке
.
Задание
8. Найти производную функции
с помощью логарифмического дифференцирования.
Задание
9. Исследовать функцию
и построить схематически её график.
Задание
10. Найти наибольшее и наименьшее значение
функции
на отрезке
.
Вариант № 9.
Задание 1. Вычислить приращение функции
в точке
,
соответствующее приращению аргумента
.
Задание 2. Найти производные функций:
2.1.
.
2.2.
.
2.3.
.
2.4.
.
Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию:
.
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
Задание
5. Вычислить с помощью дифференциала
приближённое значение выражения
.
Задание
6. Найти вторую производную функции
.
Задание
7. Составить уравнения касательной и
нормали к графику функции
в точке
.
Задание
8. Найти производную функции
с помощью логарифмического дифференцирования.
Задание
9. Исследовать функцию
и построить схематически её график.
Задание
10. Найти наибольшее и наименьшее значение
функции
на отрезке
.
Вариант № 10.
Задание 1. Вычислить приращение функции
в точке
,
соответствующее приращению аргумента
.
Задание 2. Найти производные функций:
2.1.
.
2.2.
.
2.3.
.
2.4.
.
Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию:
.
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
Задание
5. Вычислить с помощью дифференциала
приближённое значение выражения
.
Задание
6. Найти вторую производную функции
.
Задание
7. Составить уравнения касательной и
нормали к графику функции
в точке
.
Задание
8. Найти производную функции
с помощью логарифмического дифференцирования.
Задание
9. Исследовать функцию
и построить схематически её график.
Задание
10. Найти наибольшее и наименьшее значение
функции
на отрезке
.
Вариант № 11.
Задание 1. Вычислить приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента .
Задание 2. Найти производные функций:
2.1. . 2.2. . 2.3. . 2.4. .
Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию .
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
Задание 5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения .
Задание 6. Найти вторую производную функции .
Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке .
Задание 8. Найти производную функции с помощью логарифмического дифференцирования.
Задание 9. Исследовать функцию и построить схематически её график.
Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .
Вариант № 12.
Задание 1. Вычислить приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента .
Задание 2. Найти производные функций:
2.1. . 2.2. . 2.3. . 2.4. .
Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию:
.
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
Задание 5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения .
Задание 6. Найти вторую производную функции .
Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке .
Задание 8. Найти производную функции с помощью логарифмического дифференцирования.
Задание 9. Исследовать функцию и построить схематически её график.
Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .
Вариант № 13.
Задание 1. Вычислить приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента .
Задание 2. Найти производные функций:
2.1. . 2.2. . 2.3. . 2.4. .
Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию:
.
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
Задание 5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения .
Задание 6. Найти вторую производную функции .
Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке .
Задание 8. Найти производную функции с помощью логарифмического дифференцирования.
Задание 9. Исследовать функцию и построить схематически её график.
Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .
Вариант № 14.
Задание 1. Вычислить приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента .
Задание 2. Найти производные функций:
2.1. . 2.2. . 2.3. . 2.4. .
Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию:
.
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
Задание 5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения .
Задание 6. Найти вторую производную функции .
Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке .
Задание 8. Найти производную функции с помощью логарифмического дифференцирования
Задание 9. Исследовать функцию и построить схематически её график.
Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .
Вариант № 15.
Задание 1. Вычислить приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента .
Задание 2. Найти производные функций:
2.1. . 2.2. . 2.3. . 2.4. .
Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию:
.
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
Задание 5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения .
Задание 6. Найти вторую производную функции .
Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке .
Задание 8. Найти производную функции с помощью логарифмического дифференцирования.
Задание 9. Исследовать функцию и построить схематически её график.
Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .