§8.Функцияның ең үлкен және ең кіші аралығы.
Барлық функциялар сындық нүктелерде ең үлкен және ең кіші мәндерді қабылдай алады.
Мысал
7.16
Функцияның
ең үлкен және ең кіші мәндерін табыңыз.
кесіндісінде
Функцияның сындық нүктелерін табамыз:
кесіндісі бір ғана сындық нүктені қабылдайды:
Осы нүктедегі функцияның мәнін есептейміз:
Алынған
мәндерді салыстыра отырып,
кесіндісінде функцияның ең үлкен мәні
-
,
-
функцияның ең кіші мәні
§ 9. Дөңес және ойыстық атқаратын қызметінің графиктері. Майысу нүктелері
Қисық,
аныктауыш атқаратын қызметімен жоғары
дөңес немесе интервалдағы жай дөңес
деп аталады (а,b) егер график кез-келген
жанауышынан төмен орналасса, график
функция интервалында жатады.
Егер функцияның графигі жанамадан жоғары орналасса, онда бұл қисық (а,b) интервалында дөңес төмен немесе ойыс болады.
Ойыс және дөңес бөліктерін ажыратып тұратын нүкте қиылысу нүктесі 0-ге ұмтылады немесе мәні жоқ. Суреттегі М нүктесі -қиылысу нүктесі.
§ 10.Функция графикасының асимптотасы
Тік
асимптоталары.Егер
болатындай а саны бар болса, онда х=а
түзуі
қисығының тік асимптотасы болады.
Көлбеу
асимптоталары.
функциясының
графигінің көлбеу асимптотасының
теңдеуі
түрінде ізделінеді. Мұндағы
Егер
шектердің кем дегенде біреуі бар болмаса,
онда
қисығының көлбеу асимптотасы болмайды.
Егер
болса, онда асимптота
осіне параллель.
§ 11.Функцияны зерттеудің және график тұрғызудың жалпы схемасы.
Берілген функцияны сипаттау процесін үйрену мақсатымен , оны зерттеу келесі схемамен жүргізіледі.
1.Функцияның анықталу облысы болып табылады, координаттар осімен қиылысқан, функциясының үзіліс нүктесімен.
2.Функцияның жұптылығы мен тақтылығы қойылады, оның периодтылығы
3.Функцмяның экстремум нүктелері табылады, оның экстремалдық мағынасын , функцияның монаталдығының арақашықтығы табылады.
4.Функция графигінің майысу нүктесі қисықтық дөңестігі мен ойыстығының аралығы табылады.
5.Функцияның асимптотасы табылады.
6.Координатаның жазықтыққа барлық табылған сипатты нүктелері түсіріледі және графигі тұрғызылады.
Мысал
7.17.
функциясын
зерттеңдер және графигін салыңдар.
1.Барлық
анықтау,яғни
анықталу облысы
нүктесінде
функция екінші түрде үзіліске ұшырайды.
Егер х=0, онда y=0 яғни қисық координат басымен өтеді.
,яғни
функция жұпта, тақта емес, функция
периодтық емес екені де анық.
,
және
.
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
Сондықтан
функция
аралығында
өспелі,
аралығында кемімелі.
нүктесі
максимум нүктесі болады және
4.
,
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
нүктесі
майысу нүктесі болып табылады.
5 . -тік асимптотасы. Көлбеу асимптоталарды түрінде іздейміз.
Сонымен
қатар,
қисығы
функция графигінің асимптотасы.
6. Зерттеудің нәтижесі бойынша функцияның графигін тұрғызамыз.
Мысал
7.18. Ашылған
күйі цилиндр пішініне ие. Көлемі
-ға
тең. Табанының радиусы мен биіктігі
қандай болу керек, жоғары беті ең аз
болу үшін?
Ашық
цилиндрлік күйінің жоғарғы бетінің
ауданы
-табанының
радиусы,
-биіктігі.
Көлемі
,
мұндағы
.
Бұл дегеніміз
функциясының
ең кіші мәнге жететін кездегі радиусты
табайық:
болғандықтан,
болғанда,
онда
функциясы
болғанда
ең кіші мәнге жетеді.
Студент нені білу керек
1.Туындының анықтамасы
2.Дифференциалдының негізгі ережесі
3.Күрделі және анықталмаған функцияның туындысы
4.Дифференциалдының негізгі формуласы
5.Жоғарғы ретті туындыны
6.Туындының зэкономикалық мағынасы
7.Функция дифференциалының және оның қасиеттерінің түсінігі
8.Лопиталь ережесін және оны тұрлаусыздықта ашуда қолданылуын
9.Функцияның өсу және кему белгілерін
10.Функцияның экстремумын. Экстремум қасиетін және жеткілікті шарттарын
11.Функция графигінің дөңестігі мен ойыстығын . Майысу нүктесін
12.Функция графигінің асимптотасын
БАҚЫЛАУ ТЕСТ
1Функцияның
туындысын
табу
:
а)
;
б)
;
в)
;
г) басқа жауап
2.
Жоғарыда аталған функциялар арасында
осы туынды құралдарын көрсет?
:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
3.
нүктесіндегі
функциясының туындысын табыңыз :
а)
8; б)
;
в) -8; г) басқа жауап.
4.
функциясының туындысын табыңыз:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
5.
функциясының туындысын табыңыз:
а)
;
б)
;
в)
;
г) басқа жауап.
6.
функциясының туындысын табыңыз:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
7.
функциясы:
a)
интервалында
азаяды және
интервалында өседі;
б)
интервалында азаяды және
интервалында өседі;
в)
интервалында
азаяды және
интервалында өседі;
г) интервалында азаяды, өспейді.
8.
функциясының минимум мәні:
a)
;
б)
;
в)
; г) шексіз
көп шешімі бар.
ӨЗІНДІК ШЕШУ ЕСЕПТЕРІ
Есеп
7.1.
нүктесіндегі
функция туындысын табыңыз.
Жауабы:
.
Есеп
7.2.
функция туындысын табыңыз
Жауабы:
.
Есеп
7.3.
функция
туындысын табыңыз
Жауап:
.
Есеп
7.4.
функция туындысын табыңыз
Жауап:
.
Есеп
7.5.
функция туындысын табыңыз
Жауап:
.
Есеп
7.3.
функция туындысын табыңыз.
Жауап:
.
Есеп
7.4.
нүктесінде
функциясының туындысын және осы нүкте
функция дифференциалын табыңыз.
Есеп
7.5.
функция туындысын табыңыз.
Есеп
7.6.
функция туындысын табыңыз.
Есеп
7.7.
функция туындысын табыңыз.
Есеп
7.8.
абсциссасылы нүктеде
қисығының жанама және нормаль теңдеуін
құрыңыз.
Есеп
7.9.
кезінде
туындылы функция үшін ресурстың шекті
эффективтілігін анықтаңыз.
Есеп
7.10.
кезінде туындылы функция үшін
серпімділігін табыңыз.
Есеп 7.11. кезінде туындылы функция үшін өсім қарқының табыңыз.
Есеп
7.12.
нүктесінде
функциясының
туындысын табыңыз.
Есеп
7.13.
функцияның дифференциалын табыңыз.
Есеп
7.14.
нүктесінде
функциясының дифференциалын табыңыз.
Есеп
7.15.
үшін
екінші туындысын табыңыз.
Есеп
7.16. Нүкте
заңы бойынша түзусызықты қозғалады.
Уақыттың қай моментінде үдеу 0-ге тең
болады?
Есеп 7.17. Лопиталь ережесін пайдаланып шектерді есептеңіз:
а)
;
б)
.
Есеп
7.18.
функция
экстремумын табыңыз
Есеп
7.19.
функция экстремумын табыңыз.
Есеп
7.20. Бірінші
ретті туынды көмегімен
функциясының экстремум нүктесін және
біркелкілік интервалын табыңыз.
Есеп
7.21.
қимасында
функциясының ең үлкен және ең кіші мәнін
табыңыз.
Есеп
7.22.
қимасында
функциясының
ең үлкен және ең кіші мәнін табыңыз.
Есеп
7.23. Компания
қандай да бір көлемде, 1 көшірмеден
асатын өнім шығарады. Өндіріс шығындары
шыққан өнімнің көлеміне тәуелді және
формуласымен анықталады. Сұраныс (өнім
бағасы) өндіріс көлеміне тәуелді және
формуламен анықталады. Кіріс максимальды
болатын кездегі, өнім өндірісінің
көлемін табыңыз.