§5.Функцияның өсу және кему қасиеттері.

Функцияның бірсарындылық аралығы

Егер бегілі бір аралықта жататын [а;b] аргументтің кез-келген мәндері үшін х₁<х₂ теңсіздігінен f(x₁)< f(x₂) теңсіздігі орындалаты болса , онда f(x) функциясы өспелі функция деп аталады.

Егер бегілі бір аралықта жататын [а;b] аргументтің кез-келген мәндері үшін х₁<х₂ теңсіздігінен f(x₁)>f(x₂) теңсіздігі орындалаты болса , онда f(x) функциясы кемімелі функция деп аталады.

Функция f(x) тек өсіп немесе тек кемитін аралыктарды функцияның бірсарындылық аралығы деп атаймыз.
Өспелі функция белгісі: егер функция туындысы f'(x)>0 болса,онда дифференциалданған функция f(x) [а;b] кесіндісінде өседі.
Кемімелі функция белгісі: егер функция туындысы f'(x)<0 болса,онда дифференциалданған функция f(x) [а;b] кесіндісінде кемиді.

Функцияның бірсарындылық аралығында анықталған нүктенің функциясының туындысы жоқ немесе нөлге тең. Бұл нүктелер сындық нүктелер деп аталады. f(x)функциясының бірсарындылық аралығын табу үшін оның барлық сындық нүктелері мен әр аралыққа туынды белгісін қою керек.

Мысал 7.13 Функцияның бірсарындылық аралығын табыңыз. .

Функция барлық сандық осьте анықталған.Оның туындысын табамыз. .

_{Туындысын
нөлге теңестіріп, сындық нүктелерін
табамыз.}

Нәтижелерін кестеге енгіземіз:


	+				+

Сонымен,функция және аралығында өседі,ал аралығында кемиді.

§6.Функцияның экстремумдары

Егер f(x) функциясының мәні х₁нүктесінде сол нүктені маңайындағы функцияның барлық мәндерінен үлкен болса,онда сол х₁нүктесі функцияның максимумы болады.
Егер f(x) функциясының мәні х₂нүктесінде сол нүктені маңайындағы функцияның барлық мәндерінен кіші болса,онда сол х₁нүктесі функцияның минимумы болады. .
Функцияның максимумы мен минимумын оның экстремумдары деп атайды.
Жоғарыдағы суретте қисық түрінде берілген функция және нүктелерінде-максимум, ал және — минимум, нүктесінде- эктремум жоқ.
Функцияның сындық нүктелерінде нөлге тең туындысы бар анықталған қисыққа қатысты бұл нүктелерінде Ох осіне параллель.
Экстремумның қажетті шарты! Нүктенің қандай да бір маңайында анықталған функцияның экстремумы болсын. Сол нүктеде функцияның туындысы жоқ немесе нөлге тең.

§7.Экстремумның жеткілікті шарттары

функциясы нүктесінің маңайында үсіліссіз болып,оның ойылған маңайында дифференциалдансын ( нүктесінің өзінде f(x) функциясының ақырлы туындысы болуы да болмауы да мүмкін ). Онда: