М одуль 7. Бір айнымалы функциялардың дифференциалдық есептеулері.

§ 1. Функция туындысы, оның геометриялық,

механикалық және экономикалық мағынасы.

айырмасына тең х тәуелсіз айнымалының кез келген өзгерісі айнымалының өсімшесі деп аталады.

аралығындағы айырмасы функцияның өсімшесі деп аталады немесе мұндағы .

функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасының аргумент өсімшесі нолге ұмтылған кездегі шегі функция туындысы деп аталады.

.

Берілген нүктеде соңғы туынды беретін функция осы нүктеде дифференциаланатын функция деп аталады.

7.1-мысал. Анықтаманы пайдалана отырып, функциясының туындысын табыңыз.

аргументке өсімшесін қосайық. Сонда сәйкес функция өсімшесі мына түрде жазылады:

.

Бұдан х нүктесінде қатынасының шекті мәнін табамыз. ұмтылатындығын ескере отырып,

.

О сылайша, .

Т еорема.Егер функция кейбір нүктелерде дифференциалды болса , онда ол осы нүктеде үзіліссіз болып табылады.

Алайда кері пікір мүлдем дұрыс емес. Дифференциалды функциялар емес, үздіксіз функциялар бар. Мысалы, үшін .

Туындының геометриялық мағынасы.

Егер функциясы х₀ нүктесінде дифференциалданатын болса, онда берілген қисыққа осы х₀ нүктесі арқылы жүргізілген жанаманың бұрыштық коэфициенті функциясының туындысының сол қарастырылып отырғаннүктедегі мәніне тең.

Туындының механикалық мағынасы.

уақыт мезетіндегі материалдық нүктенің сызықтық қозғалыс жылдамдығы жолдың уақыт бойынша туындысы болып табылады. .

Туындының физикалық мағынасы.

Қ орытындылай келе, егер функциясы қандай да бір физикалық процессті сипаттаса, онда туынды осы процесс ағынының жылдамдығы деп айтуға болады.

Туындының экономикалық мағынасы.

Адамның кез келген шаруашылық (экономикалық) қызметі белгілі бір нәтижеге қол жеткізу үшін жүзеге асырылады және нақты күш-жігерді талап етеді. . Егер функциясы кейбір экономикалық процесстерді сипаттаса, онда оның туындысы бұл процесстің шекті тиімділігін сипаттайды.

Пример 7.2. — шығарылған өнім көлемі, ал — өндіріске кеткен шығын болсын.

Ө німдер саны мынаншаға өсіп бара жатыр деп болжайық . өнім санына өндірістік шығындар сәйкес келеді. Сондықтан,өнімдер санының өсімшесіне өндірістік шығындар санының өсімшесі сәйкес келеді. . қатынасы өндірістік шығындардың орташа өсуін білдіреді(т.с.с.өндірістік шығындар өсімшесі өнім санының бірлік өсуіне тең). Сонда туынды берілген көлемде шығарылатын өнім үшін өндірістің шекті шығындарын сипаттайды.

7.3-мысал. — сату көлемі , ал — олардан түсетін ортақ пайда болсын. Онда туынды сатудың берілген деңгейіндегі шекті пайданы сипаттайды. .

Э кономикалық құбылыстарды талдау кезінде туынды функциясының орнына, ерекше ұғым- серпімділік функциясын пайдалануды жөн көреді.

Серпімділік функциясы деп үшін функцияның салыстырмалы өсімшесінің аргументтің салыстырмалы өсімшесіне шекті қатынасын айтады.

Серпімділік - -ке қатысты функцияның шамамен алынған пайыздық өсімі ( артуы немесе төмендеуі), ол тәуелсіз айнымалының 1%-ға артуына сәйкес келеді. Бұл серпімділік функциясының экономикалық мағынасы болып табылады.