2. Математическая постановка задачи

3.2.1 Описание метода экспертных оценок и алгоритма решения задачи

В данном дипломном проекте для решения поставленной задачи определения права заявителя на получение социальной помощи, выявленной в разделе 1.2 настоящего дипломного проекта, реализуется один из методов непараметрической статистики – метод экспертных оценок, как наиболее точно подходящий для решаемой задачи. Данный метод не является трудоемким, не требует числовых характеристик объектов, а только лишь их ранги, но вместе с тем дает не менее точные результаты.

Выбранный метод был привязан к инструменту ранговой корреляции, рассмотренному выше, в частности для решения поставленной задачи применяется процедура расчета одного из коэффициентов ранговой корреляции коэффициента конкордации (согласованности) Кендалла для случая несвязанных и связанных рангов, а также проверка его на значимость по критерию Пирсона .

Существуют различные методы экспертных оценок, наиболее распространенными из них являются:

• анкетные методы;

• методы групповой экспертизы.

В частности метод экспертных оценок относится к первой группе.

Применение метода экспертных оценок осуществляется в случаях, когда :

- необходимо упорядочить объекты в соответствии с каким – либо свойством, но при этом не требуется точное значение данного свойства;

- необходимо упорядочить объекты в пространстве и во времени;

- свойство объекта не может быть измерено.

Метод экспертных оценок состоит в том, что эксперту предлагается присвоить числовые ранги (а_ij) каждому из приведенных в анкете рассматриваемых факторов. Первый ранг присваивается наименее важному, по мнению, экспертов фактору. Второй ранг присваивается чуть более важному и так далее по восходящей. Высший ранг присваивается самому важному фактору.

В результате таких действий получается ранжирование факторов по степени важности. Результаты работы m экспертов относительно n факторов сводятся в матрицу размера (m*n), которая называется матрицей опроса. Вид матрицы приведен на рисунке 3.1.

Факторы	Эксперты
	1	2	…	J	…	n
1 2 … i … m	a11 a21 … ai1 … a1m	a12 a21 … ai2 … a2m	… … … … … …	a1j a2j … aij … amj	… … … … … …	a1n a2n … ain … amn

Рисунок 3.1 – Матрица опроса

Далее на основании матрицы опроса по формулам (3.18) – (3.19) строится матрица преобразованных рангов.

(3.18) где S_ij – значение преобразованного ранга;

a_max – значение максимального ранга матрицы;

а_ij – значение простого ранга.

(3.19)

где R_i – сумма рангов i – ой строки матрицы.

На рисунке 3.2 приведен общий вид матрицы преобразованных рангов.

Факторы	Эксперты						Ri
	1	2	…	J	…	n
1 … m	S11 … Sm1	S12 … Sm2	… … …	S1j …. Smj	… … …	S1n … Smn	R1 … Rm

Рисунок 3.2 – Матрица преобразованных рангов

Иногда возникает ситуация, когда эксперт по каким – либо причинам затрудняется провести четкое разграничение между некоторыми факторами, тогда вводятся связанные ранги, которые рассчитываются по формуле (3.20) :

(3.20)

где - связанные ранги j – го эксперта;

к – количество связанных рангов.

Тогда сумма рангов (R_i ) определяется по формуле (3.21):

(3.21)

Далее по данным матрицы преобразованных рангов определяется относительный вес каждого фактора по всем экспертам по формуле (3.22) :

(3.22)

Причем, сумма всех W_i должна равняться единице.

Таким образом, на основании величины относительных весов расставляются ранги для рассматриваемых факторов. Самый высокий ранг получает фактор, относительный вес которого самый большой. Самый низкий ранг получает тот фактор, относительный вес которого самый малый.

В случае, когда сумма рангов (R_i) всех объектов совпадает и нет возможности определить большие или меньшие относительные веса рангов, поступают следующим образом : рассчитывают сумму квадратов рангов (D_i) для каждого объекта по формуле (3.23) :

(3.23)

То есть, высший ранг присваивается фактору с наибольшей суммой квадратов рангов, а низший ранг, соответственно, объекту с наименьшей суммой квадратов рангов.

Одним из недостатков метода экспертных оценок является субъективность экспертных оценок, поэтому для повышения степени объективности оценки проводится ранжирование сразу несколькими экспертами – специалистами. При анализе оценок, расставленных несколькими экспертами, возникает необходимость проверки их согласования. Для этого и применяется коэффициент конкордации (согласованности) Кендалла, который определяется по формулам (3.15) – (3.18), а в случае наличия связанных рангов - по формулам (3.20) – (3.21).

Для окончательного подтверждения правильности и точности расставленных рангов, необходимо коэффициент конкордации проверить на значимость, то есть силу согласованности экспертов с помощью критерия согласия Пирсона .

Для оценки силы согласованности экспертов при уровне значимости , равным 0,5 применяют отношение (3.24):

m (n – 1)W >  ²_{, к} , (3.24)

где n – число объектов;

m – число анализируемых порядковых переменных;

W – значение коэффициента конкордации;

 ²_{, к} – распределение с к = n – 1 степенями свободы и уровнем значимости , определяемое по таблице распределения статистики  ².

Таким образом, если выполняется отношение (3.24), то существует сильная согласованность между экспертами и их мнению можно доверять, и наоборот.

Несмотря на то, что важность параметрических методов как существующего раздела современной статистической науки признана самими статистами, непараметрические методы пока не широко распространены среди других наук. А если непараметрический анализ и появляется в прикладных журналах, то он обычно не выходит за рамки проверки гипотез.

В последние годы в области эффективности коэффициентов при оценивании параметров корреляции предприняты большие работы. Вообще говоря, методы оценивания или проверки, использующие ранги, выигрывают в общности, поскольку они не зависят от формы распределения в генеральной совокупности, однако также они могут быть связаны с потерями эффективности и мощности, что вполне естественно. Средство, употребляемое для многих целей, обычно не так эффективно, как средство, специально разработанное ради одной цели. С другой стороны существуют ситуации, когда мощность проверок, основанная на рангах, удивительно высока и потери от применения ранговых методов оказываются незначительными.