Тема: Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида (метод неопределенных коэффициентов)
I. Основные теоретические положения
Пусть дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
где - постоянные коэффициенты (числа), .
В тех случаях,
когда правая часть уравнения
имеет специальный
вид (является квазиполиномом)
,
где
и
-
многочлены степени
и
соответственно,
- характеристическое
число квазиполинома,
частное решение неоднородного уравнения удобнее находить методом неопределенных коэффициентов (методом подбора).
Метод
неопределенных коэффициентов:
ищем в таком же
виде, в каком представлена функция
,
только вместо известных коэффициентов
в многочленах будут стоять неопределенные,
которые находятся при подстановке в
исходное дифференциальное уравнение
составленной формулы для
(см. таблицу7.1.)
Таблица 7.1.
Вид правой части |
|
Формула для |
1.
|
|
|
2.
|
|
|
3.
или
|
|
|
4.
|
|
|
Замечания:
1) если
не является корнем характеристического
уравнения
,
если
– корень характеристического
уравнения
(повтор –
раз)
2) Общий вид многочленов с неопределенными коэффициентами:
и т.д.
3) если
правая часть исходного уравнения
имеет вид
,
причем
и
относятся к разным случаям из таблицы
(9.1.), то
,
где
- частное решение
уравнения
,
- частное решение
уравнения
.
Т.к. - решение, то при подстановке его в исходное уравнение получим тождество, в котором, приравнивая коэффициенты при одинаковых линейно независимых функциях слева и справа получим систему линейных уравнений, решив которую найдем коэффициенты.
II. Решить дифференциальное уравнение
Пример
1:
Решение:
Задача:
1.
:
- характеристическое уравнение
(1 случай, формула
(6.3.))
ФСР:
2.
:
(1случай в табл. 7.1.)
– корень
характеристического
уравнения
(повтор – 1 раз)
старшая
степень
–
в исходное уравнение
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях :
:
:
:
Записываем
3. Записываем общее решение исходного уравнения:
.
Пример
2:
Решение:
Задача:
1.
:
- характеристическое уравнение
(1 случай, формула
(6.3.))
ФСР:
2.
:
а)
:
(1)
(2
случай в таблице (7.1.))
не является корнем характеристического
уравнения
старшая
степень
–
в (1)
раскрываем скобки и приводим подобные
приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях :
.
Записываем
.
б)
:
(2)
(3
случай в таблице (7.1.))
не является корнем характеристического
уравнения
старшая
степень
–
в (2)
раскрываем скобки и приводим подобные
приравниваем коэффициенты при одинаковых функциях
.
Записываем
:
.
Записываем
.
3. Записываем общее решение исходного уравнения:
.