Тема: Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

I. Основные теоретические положения

Так же как и для уравнений первого порядка, для уравнений высших порядков не существует универсального метода нахождения решения. Причем, чем выше порядок уравнения, тем сложнее путь нахождения решения.

Для некоторых уравнений – го порядка иногда удается понизить порядок уравнения и тем самым облегчить интегрирование. Рассмотрим основные виды таких уравнений и методы понижения порядка.

1. Если дифференциальное уравнение имеет вид:

– 1 тип

Метод: последовательно интегрируя данное уравнение раз, найдем общее решение дифференциального уравнения.

2. Если дифференциальное уравнение имеет вид:

– 2 тип,

т.е. уравнение явно не содержит искомой функции и ее производные до - го порядка включительно. В этом случае порядок уравнения может быть понижен на единиц.

Метод: сделаем замену

в уравнение

3. Если дифференциальное уравнение имеет вид:

– 3 тип,

т.е. уравнение явно не содержит переменную . Порядок такого уравнения может быть понижен на единицу.

Метод: сделаем замену ( считается новой независимой переменной)

Применяя правило дифференцирования сложной функции находим

По правилу производной произведения вычислим :

и т.д.

II. Решить дифференциальное уравнение

Пример 1:

Решение:

Данное уравнение относится к первому типу, т.к. уравнение содержит производную только четвертого порядка, правая часть – функция от .

Последовательно интегрируем четыре раза данное уравнение:

Пример 2:

Решение:

Уравнение относится ко второму типу, т.к. не содержит искомой функции (не является уравнением первого типа, т.к. содержит производные разных порядков).

1. Пусть

в уравнение

- уравнение I порядка

Чтобы определить тип уравнения, выражаем :

- линейное

2. Находим решение линейного уравнения относительно :

а). Пусть общее решение уравнения имеет вид (делаем подстановку):

в линейное

Получим

Перенесем все слагаемые в левую часть равенства:

Сгруппируем первое и третье слагаемое:

(*)

Согласно методу скобку приравниваем к нулю: - УРП Заменяем (т.к. ): Выражаем функцию , используя свойства логарифмов: зададим произвольным образом константу : в (*)

- УРП Заменяем (т.к. ):

б). Записываем общее решение линейного уравнения (возвращаемся к исходной переменной ):

.

3. Возвращаемся к замене :

- УРП

Заменяем (т.к. )

в левую часть равенства собираем по переменной (т.к. слева вверху по ), в правую часть собираем по переменной

интегрируем обе части

.

Пример 3: – 3 тип (нет переменной )

Решение:

1. Пусть

в исходное уравнение

- уравнение I порядка

- УРП.

Заменяем (т.к. )

в левую часть равенства собираем по переменной (т.к. слева вверху по ), в правую часть собираем по переменной

интегрируем обе части

Выразим функцию через переменную :

.

2. Возвращаемся к замене :

- УРП

Заменяем (т.к. )

в левую часть равенства собираем по переменной (т.к. слева вверху по ), в правую часть собираем по переменной

интегрируем обе части

.

Обратите внимание: при вычислении интегралов функции, зависящие от констант, так же являются константами ( , и т.д.).

№ 6