Тема: Уравнения в полных дифференциалах

I. Основные теоретические положения

Определение. Дифференциальное уравнение

называется уравнением в полных дифференциалах (УПД), если функции и удовлетворяют тождеству

, (4.1.)

т.е. левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции .

В этом случае исходное уравнение можно записать в виде

,

общий интеграл которого имеет вид

Задача: найти функцию .

Алгоритм решения УПД:

1. Из исходного уравнения выписать функции и ;

2. Проверить выполнение условия (4.1.):

УПД

3. Составить систему и решить ее:

(4.2.)

4. Записать общий интеграл исходного уравнения:

II. Решить дифференциальное уравнение

Пример:

Решение:

1. Уравнение дано в дифференциальной форме, поэтому выписываем функции и :

2. Проверим выполнение условия (4.1.)

Т.к. , то исходное уравнение - УПД.

3. Составляем систему (4.2.) и решаем ее:

а) интегрируем уравнение (1) по переменной (в этом случае переменная играет роль постоянной):

(3)

где играет роль постоянной.

б) продифференцируем полученное равенство (3) по переменной , чтобы найти функцию :

(4)

в) Из равенств (2) и (4) получим

- УРП

в (3)

4. Записываем общий интеграл исходного уравнения

.

• Основной трудностью при решении дифференциальных уравнений первого порядка является определение типа уравнения. Для решения этой задачи удобно пользоваться таблицей, в которой указаны основные типы и, кратко, методы их решения.

Таблица «Дифференциальные уравнения первого порядка»

I. Если уравнение содержит , то выражаем :	II. Если уравнение содержит и : , то выписываем и :
1) УРП Метод:	1) УРП. Метод: разделение дифференциалов (переменных)
2) однородное Метод: ,	2) однородное Метод: привести в виду (далее смотри I.)
3) - линейное - Бернулли Метод:	3) УПД Общий интеграл
4) - линейное - Бернулли Метод:	Замечание: если ни один из пунктов не подошел, выражаем и смотрим пункт I.
Замечание: если ни один из пунктов не подошел, заменяем на отношение и смотрим пункт II.

Определить тип дифференциального уравнения первого порядка

Пример 1:

1. Уравнение дано в дифференциальной форме, поэтому выписываем функции (коэффициент перед ) и (коэффициент перед ) и смотрим пункт II.

а). УРП –

уравнение не является УРП, т.к. (нет общих множителей в первом и втором слагаемых);

б). Однородное –

уравнение не является однородным, т.к. функция не является однородной:

;

в). УПД –

т.к. не является УПД.

2. Т.к. ни один из пунктов не подошел, выражаем и смотрим пункт I.

- линейное

(УРП, однородное в пункте I. не рассматриваем, т.к. эти варианты были исключены в пункте II.).

Пример 2:

1. Выражаем и смотрим пункт I.

а). УРП –

УРП.

Пример 3:

1. Выражаем и смотрим пункт I.

а). УРП –

уравнение не является УРП, т.к. числитель и знаменатель дроби в правой части уравнения не содержат общих множителей;

б). Однородное –

уравнение не является однородным, т.к. числитель (знаменатель) дроби в правой части не является однородной функцией:

;

в). Линейное или Бернулли –

уравнение не относится к данным типам, т.к. почленное деление числителя на знаменатель не приведет к общему виду уравнений данных типов;

г). Линейное или Бернулли –

перевернем уравнение

уравнение не относится к данным типам, т.к. почленное деление числителя на знаменатель не приведет к общему виду уравнений данных типов;

2. Т.к. ни один из пунктов не подошел, заменяем на отношение и смотрим пункт II.

УПД – (УРП и однородное не рассматриваем, т.к. эти варианты были исключены в пункте I.)

т.к. УПД.

№5