II. Решить дифференциальное уравнение

Пример 1:

Решение:

1. Выразим , чтобы определить тип уравнения:

- Бернулли ( ),

(полученное уравнение не является УРП, т.к. в правой части после вынесения общего множителя в скобке останутся обе переменные, и не является однородным, т.к. второе слагаемое не содержит отношения ).

2. Пусть общее решение уравнения имеет вид (делаем подстановку):

в уравнение

Получим

Перенесем все слагаемые в левую часть равенства:

Сгруппируем первое и третье слагаемое:

(*)

Согласно методу скобку приравниваем к нулю: - УРП Заменяем (т.к. ): Выражаем функцию , используя свойства логарифмов: зададим произвольным образом константу : в (*)

- УРП Заменяем (т.к. ): Выражаем функцию :

3. Записываем общее решение исходного уравнения (возвращаемся к исходной переменной ):

.

Пример 2:

Решение:

1. Перевернем уравнение, чтобы почленно поделить числитель на знаменатель в правой части:

т.к. , то

- линейное ( )

2. Пусть общее решение уравнения имеет вид (делаем подстановку):

в уравнение

Получим

Перенесем все слагаемые в левую часть равенства:

Сгруппируем первое и третье слагаемое:

(*)

Согласно методу скобку приравниваем к нулю: - УРП Заменяем (т.к. ): Выражаем функцию , используя свойства логарифмов: Зададим произвольным образом константу : в (*)

- УРП Заменяем (т.к. ):

3. Записываем общее решение исходного уравнения (возвращаемся к исходной переменной ):

.

№4