Группы гомологий

(Независимые множества точек в . Симплексы. Барицентрические координаты точки. Выпуклые множества. Выпуклое замыкание множества. Грани симплекса. Симплициальный комплекс. Полиэдр. Ориентация симплекса. Цепи, циклы и границы. Определение групп гомологий симплициального комплекса и полиэдра. Конус над комплексом и его группы гомологий)

Следующей нашей задачей является знакомство с группами гомологий.

Пусть . Множество точек из называется независимым (а сами эти точки – независимыми), если из равенств следует, что . Точки независимы тогда и только тогда, когда линейно независимы векторы .

Любое множество из одной точки считается независимым и называется нульмерным симплексом.

Пусть . мерным симплексом называется множество точек , представимых в виде

,

где точки независимы, а числа удовлетворяют условиям

.

Точки называются вершинами, а числа – барицентрическими координатами точки .

Независимость точек означает, что они не совпадают. Симплекс с вершинами состоит из точек , где . Имеем . Здесь . Множество всех таких точек образует отрезок с концами в точках и .

Независимость точек означает, что они не лежат на одной прямой. Симплекс с вершинами состоит из точек , где . Имеем

.

Здесь . Множество всех таких точек образует треугольник с вершинами в точках .

Независимость точек означает, что они не лежат в одной плоскости. Симплекс с вершинами состоит из точек , где все неотрицательны и их сумма равна 1. Имеем

Здесь , . Множество всех таких точек образует тетраэдр с вершинами в точках .

Из сказанного ясно, что симплекс полностью определяется своими вершинами, и поэтому симплекс с вершинами обозначается .

11

Множество в называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит отрезок с концами в этих точках. Пересечение любого числа выпуклых множеств выпукло. Отсюда следует, что для каждого множества существует содержащее его наименьшее выпуклое множество. Оно называется выпуклым замыканием множества .

Всякий симплекс является выпуклым замыканием множества своих вершин. Таким образом, еще раз убеждаемся, что симплекс полностью определяется своими вершинами.

Пусть . Любые вершин симплекса определяют мерный симплекс , который называется гранью симплекса .

Симплициальным комплексом называется множество симплексов в , удовлетворяющее двум условиям:

1) в вместе с каждым симплексом входит каждая его грань;

2) два симплекса из могут пересекаться только по их общей грани.

Размерностью комплекса называется наибольшая из размерностей входящих в него симплексов.

Симплициальный комплекс называется конечным, если он состоит из конечного числа симплексов. Мы будем рассматривать только конечные комплексы.

Комплекс, являясь множеством симплексов, каждый из которых является подмножеством множества , сам таковым (т. е. подмножеством множества ) не является. Подмножеством множества является теоретико-множественное объединение всех симплексов комплекса . Оно называется телом комплекса и обозначается через . Именно . Тело (конечного) комплекса является компактным пространством.

Пространство , а также всякое гомеоморфное ему топологическое пространство, называется полиэдром.

Наша задача – определить группы гомологий полиэдра. Для этого сначала определяются группы гомологий симплициального комплекса.

Пусть – произвольный симплициальный комплекс в . Пусть – произвольная абелева группа (например, группа целых чисел).

Пусть – произвольный симплекс из . Его вершины расположены в определенном порядке. Этот порядок определяет ориентацию симплекса. Если сделать транспозицию двух вершин (т. е. поменять их местами), то ориентация изменится на противоположную. Противоположно ориентированный симплекс будем обозначать через .

Пусть – все мерные ориентированные симплексы из (каждый симплекс входит два раза).

Рассмотрим формальную линейную комбинацию этих симплексов с коэффициентами в группе :

,

причем условимся, что в ней . Она называется мерной цепью комплекса с коэффициентами в группе . Множество всех таких цепей обозначается через или просто .

На этом множестве естественным образом определяется операция сложения:

.

Относительно этой операции множество образует абелеву группу. Она называется группой мерных цепей комплекса с коэффициентами в группе .

12

Определим гомоморфизмы при . Положим

,

где при и .

Положим

.

Построенные отображения являются гомоморфизмами.

Положим .

Построенные гомоморфизмы удовлетворяют условию

.

Удовлетворяющая этому условию последовательность

абелевых групп и гомоморфизмов называется цепным комплексом и обозначается .

Множество

называется ядром гомоморфизма . Оно является подгруппой в и называется группой мерных циклов.

Множество

называется образом гомоморфизма . Оно является подгруппой в и называется группой мерных границ.

Так как , то .

Факторгруппа называется ой группой гомологий цепного комплекса и обозначается . Она же называется ой группой гомологий симплициального комплекса с коэффициентами в группе и обозначается . Она же называется ой группой гомологий полиэдра , гомеоморфного , и обозначается . Группы гомологий полиэдра являются топологическими инвариантами.

Пусть – симплициальный комплекс, лежащий в некоторой гиперплоскости пространства , и – точка из , в ней не лежащая.

Конусом над с вершиной называется симплициальный комплекс, состоящий из всех симплексов вида , где , и всевозможных их граней.

Группы гомологий конуса равны:

,

при .

Первое из этих двух утверждений справедливо для любого комплекса, тело которого является связным пространством.

В качестве примера найдем группы гомологий следующего одномерного комплекса :

13

Этот симплициальный комплекс состоит из всех граней двумерного симплекса кроме самого этого симплекса.

Цепной комплекс в данном случае имеет вид

.

Так как тело комплекса связно, то для него .

Найдем . Так как , то . Пусть . Так как , то представляет собой одномерную цепь

,

где . Имеем

В полученном выражении для сумма коэффициентов при равна 0, а так как , то . Из этих двух условий следует, что коэффициенты при равны 0, так как точки независимы. В результате получаем, что . Итак, если , то

,

откуда следует, что . Следовательно, .

Заметим, что тело рассмотренного нами комплекса гомеоморфно окружности. Таким образом, группы гомологий и окружности изоморфны группе коэффициентов.