Элементы теории метрических пространств.

(Метрические пространства. Примеры метрических пространств. Полные метрические пространства)

Познакомимся с метрическими пространствами. Метрикой на множестве называется неотрицательная действительная функция , определенная на множестве и удовлетворяющая следующим условиям:

(1) тогда и только тогда, когда ;

(2) ;

(3) .

(3) называется неравенством треугольника.

Пара , где – множество, а – метрика на множестве , называется метрическим пространством. Число называется расстоянием между точками и .

Простейшими примерами метрических пространств являются .

Всякое подмножество метрического пространства является метрическим пространством относительно той же метрики. Метрическое пространство называется подпространством метрического пространства .

Пусть – метрическое пространство, и . Множество называется открытым шаром радиуса с центром .

5

Диаметром непустого множества называется множество

.

Множество называется ограниченным, если его диаметр конечен.

Расстояние от точки до непустого множества определяется формулой

.

Расстояние между непустыми множествами и определяется формулой

Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной, если для любого найдется такой номер , что для всех номеров выполняется неравенство .

Метрическое пространство называется полным, если в нем всякая фундаментальная последовательность сходится. Сходимость последовательности означает, что в пространстве найдется такая точка, что всякий открытый шар с центром в этой точке содержит все члены этой последовательности, начиная с некоторой.

Метрическое пространство – полное.

Элементы теории топологических пространств

(Топология и топологическое пространство. Примеры топологических пространств. Топология, порожденная метрикой. Непрерывные отображения. Гомеоморфизмы. Подпространства. Связность. Разбивающие точки. Компактность. Теорема о компактных множествах в )

Пусть – множество и – система его подмножеств. Система называется топологией на множестве , если она удовлетворяет следующим условиям:

(O1) и ;

(O2) пересечение любой конечной системы элементов из принадлежит ;

(O3) объединение любой системы элементов из принадлежит .

Пара , где – множество, а – топология на , называется топологическим пространством, а элементы из – открытыми множествами этого пространства.

Вместо «топологическое пространство » говорят «пространство » или просто «пространство ». Элементы множества называются точками пространства . Условия (O1), (O2), (O3) – это аксиомы топологии. Они же – свойства открытых множеств.

Пусть – произвольное множество, а состоит из всех его подмножеств. Очевидно, что – топологическое пространство. Оно называется дискретным топологическим пространством, а его топология – дискретной топологией.

Точка топологического пространства называется изолированной, если одноточечное множество открыто в этом пространстве.

В дискретном пространстве все точки – изолированные.

Пусть – множество действительных чисел, а состоит из всех его подмножеств, каждое из которых вместе с каждой своей точкой содержит интервал для некоторого . Очевидно, что – топология на множестве . Она называется естественной топологией на . Аналогично определяется естественная топология на любом метрическом пространстве (в частности, на множестве ): интервал заменяется на шар (при шар является кругом). Она называется топологией, порожденной метрикой.

6

Топологическое пространство называется метризуемым, если его топология порождается метрикой.

Ту же топологию на множестве можно определить иначе – как топологию произведения. Пусть и – топологические пространства. Пусть состоит из всех подмножеств декартова произведения , каждое из которых вместе с каждой своей точкой содержит множество вида , где открыто в , а открыто в . Тогда – топология на множестве . Она называется топологией произведения. Именно эта топология на множестве подразумевается, когда говорят о произведении топологических пространств и , не указывая топологию. Ясно, как определить топологию произведения любого конечного числа топологических пространств.

Всякое открытое множество пространства , содержащее точку , называется окрестностью точки . Например, в пространстве окрестностью произвольной его точки является любой интервал, содержащий эту точку.

Множество открыто тогда и только тогда, когда вместе с каждой своей точкой оно содержит некоторую окрестность этой точки.

Точка называется внутренней точкой множества , если некоторая ее окрестность содержится в .

Множество топологического пространства называется замкнутым, если его дополнение является открытым множеством.

Система замкнутых множеств пространства обладает следующими свойствами:

(С1) и ;

(С2) объединение любой конечной системы элементов из принадлежит ;

(С3) пересечение любой системы элементов из принадлежит .

Все они следуют из свойств (О1), (О2), (О3) открытых множеств и законов де Моргана.

Множество, которое одновременно открыто и замкнуто, называется открыто-замкнутым. В любом непустом пространстве есть два открыто-замкнутых множества: и само пространство . В дискретном пространстве все множества открыто-замкнуты.

Пусть – пространство и – некоторое его подмножество. Семейство открыто в является топологией на множестве . Множество с этой топологией называется подпространством пространства , а сама эта топология называется индуцированной топологией.

Подпространство полного метрического пространства является полным метрически пространством тогда и только тогда, когда оно замкнуто в .

Отображение пространства в пространство называется непрерывным, если прообраз любого открытого множества пространства является открытым множеством пространства .

Теорема. Пусть – отображение пространства в пространство . Следующие утверждения равносильны:

1) непрерывно.

2) Для любой точки и любой окрестности точки существует окрестность точки такая, что .

3) Прообраз любого замкнутого множества пространства замкнут в .

Отображение топологического пространства на топологическое пространство называется гомеоморфизмом, если оно взаимно однозначно и взаимно непрерывно. Последнее означает, что и непрерывны.

Топологическое пространство называется связным, если его нельзя представить в виде объединения двух непересекающихся непустых открытых множеств.

Пространство связно тогда и только тогда, когда и являются его единственными открыто-замкнутыми множествами.

7

Примерами связных пространств являются пространство и все промежутки из (если – связное подпространство пространства , то говорят также, что – связное (под)множество пространства ). Если и – связные топологические пространства, то пространство связно. Пространство связно при любом .

Теорема. Пусть – некоторая система связных множеств пространства , имеющая непустое пересечение. Тогда множество связно.

Следствие. Если всякие две точки пространства содержатся в связном подпространстве пространства , то пространство связно.

Непрерывный образ связного пространства является связным пространством.

Точка связного пространства называется его разбивающей точкой, если подпространство несвязно. Очевидно, что при гомеоморфизме разбивающая точка переходит в разбивающую. Следовательно, если пространства и гомеоморфны и – множество всех разбивающих точек пространства , то при гомеоморфизме пространства на пространство множество отображается на .

Далее для простоты изложения предполагается, что все рассматриваемые пространства являются подпространствами пространства .

Система подмножеств пространства называется его покрытием, если . Если и – покрытия пространства и , то называется подпокрытием покрытия . Покрытие называется открытым, если все его элементы – открытые множества.

Топологическое пространство называется компактным (или просто компактом), если всякое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие.

Простейшим примером бесконечного компакта является сходящаяся последовательность вместе с ее пределом. Одним из основных примеров бесконечного компакта является отрезок.

В компактном пространстве всякое замкнутое множество компактно, а всякое компактное замкнуто. В компактном пространстве всякое бесконечное множество имеет предельную точку. Непрерывный образ компактного пространства является компактным пространством. Всякое непрерывное взаимно однозначное отображение компактного пространства является гомеоморфизмом. Декартово произведение двух компактных пространств является компактным пространством.

В множество компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.