Элементы теории групп

(Понятие группы. Примеры групп. Порядок элемента. Подгруппы. Теорема о подгруппе. Циклические группы. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Факторгруппа)

Перейдем к знакомству с теорией групп. Группа – это множество с одной определенной операцией, обладающей определенными свойствами. Перед тем как дать строгое определение группы рассмотрим два примера числовых групп.

Рассмотрим множество целых чисел вместе с операцией сложения. Операция сложения каждой паре целых чисел ставит в соответствие целое число . Такая операция называется бинарной. Эта операция 1) ассоциативна: ; 2) обладает нейтральным элементом: существует целое число 0 со свойством для любого целого числа ; 3) такова, что для каждого целого числа существует целое число (называемое противоположным для ) со свойством .

Рассмотрим множество положительных чисел с операцией умножения. Операция умножения каждой паре положительных чисел ставит в соответствие положительное число . Эта операция – бинарная. Она 1) ассоциативна: ; 2) обладает нейтральным элементом: существует положительное число 1 со свойством для любого положительного числа ; 3) такова, что для каждого положительного числа существует положительное число (называемое обратным для ) со свойством .

В первом примере на множестве рассматривалась операция сложения и поэтому использовались аддитивные терминология и обозначения. Во втором примере рассматривалась операция умножения, и поэтому использовались мультипликативные терминология и обозначения. Последние более удобны и именно они используются преимущественно при построении теории групп.

Дадим теперь определение группы. Пара , где – множество, а – бинарная операция на множестве , называется группой, если 1) операция ассоциативна; 2) в существует нейтральный элемент; 3) каждый элемент из обратим. Элемент называется нейтральным, если для любого . Элемент называется обратимым, если существует элемент такой, что . Этот элемент обозначается и называется обратным для . Далее вместо будем писать или просто , а нейтральный элемент называть единицей.

Группа называется конечной, если в ней конечное число элементов. Это число называется порядком группы. Группа может состоять из одного элемента (единицы ). Такая группа называется тривиальной. Группа называется коммутативной или абелевой, если для всяких двух элементов .

Если все (целые) степени элемента различны, то называется элементом бесконечного порядка. В противном случае существует наименьшее натуральное число такое, что . Оно называется порядком элемента . Если , то кратно порядку .

4

Подмножество группы называется ее подгруппой, если оно само является группой относительно операции, определенной в . В любой группе есть две подгруппы – сама группа и подгруппа . Непустое подмножество группы является подгруппой в тогда и только тогда, когда из следует, что .

Пусть . Все степени элемента образуют подгруппу в . Она обозначается .

Если , то группа называется циклической, а элемент ее образующим элементом. В циклической группе порядка для всякого делителя числа существует ровно одна подгруппа порядка .

Отображение группы в группу называется гомоморфизмом, если

.

Если при этом отображение является взаимно однозначным отображением группы на группу , то оно называется изоморфизмом. Группы и называются изоморфными, если существует изоморфизм одной из них на другую.

Всякие две циклические группы одинакового порядка изоморфны.

Если – подгруппа группы , то различные множества образуют разбиение группы . Это же верно и для множеств . Подгруппа группы называется нормальной, если эти разбиения совпадают (равносильно: для любого ). Если – нормальная подгруппа группы , то множества образуют группу относительно операции . Эта группа называется факторгруппой группы по ее подгруппе и обозначается . Единицей этой группы является , а обратным для является . При этом факторотображение является гомоморфизмом.

Порядок любой подгруппы конечной группы является делителем порядка этой группы (теорема Лагранжа). Порядок любого элемента конечной группы является делителем порядка этой группы. Всякая группа простого порядка является циклической.