1

Елькин а. Г. Введение в топологию (краткий конспект лекций) Элементы теории множеств

(Множества и операции над ними. Отображения. Образы и прообразы точек и множеств при заданном отображении. Взаимно однозначное отображение. Обратное отображение. Отношение эквивалентности на данном множестве. Разбиение множества. Фактормножество)

Множество состоит из элементов.

Множества обозначают большими латинскими буквами ( ), а их элементы – малыми ( ).

Если является элементом множества , то пишут ( принадлежит ). При этом говорят также, что содержит . Если не является элементом множества , то пишут ( не принадлежит ). При этом говорят также, что не содержит .

Если каждый элемент множества является элементом множества , то говорят, что является подмножеством множества и пишут ( содержится в ). При этом говорят также, что содержит .

Если и , то множества и называют равными и пишут .

Для удобства рассматривают множество, не содержащее ни одного элемента. Его называют пустым множеством и обозначают символом . Пустое множество является подмножеством каждого множества. Таким образом, среди подмножеств любого непустого множества есть два подмножества: и .

Над множествами можно совершать операции.

Объединением множеств и называется множество

.

Объединением множеств называется множество

.

Объединением множеств где – произвольное множество, называется множество

.

Пересечением множеств и называется множество

.

Если , то говорят, что множества и не пересекаются.

Пересечением множеств называется множество

.

Пересечением множеств где – произвольное множество, называется множество

.

Если , где множества попарно не пересекаются и каждое из них не пусто, то говорят, что эти множества образуют разбиение множества .

Разностью множеств и называется множество

Если , то множество называется дополнением к в .

2

Справедливы законы де Моргана:

,

.

Декартовым произведением множеств и называется множество

.

П одмножество множества называется отображением множества в множество , если для каждого существует единственный , для которого .

Вместо пишут . Вместо «отображение » говорят также «функция ». Тот факт, что есть отображение множества в множество , записывают так:

или , а иногда .

Последняя запись объясняет наш привычный взгляд на функцию как на соответствие.

Элемент называется образом элемента при отображении или значением функции в точке . Если , то множество называется образом множества при отображении .

Множество называется прообразом элемента при отображении , а множество – прообразом множества при отображении .

Если , то говорят, что есть отображение множества на множество . Если при этом образы различных элементов различны, то называется взаимно однозначным отображением множества на множество . Для такого отображения существует обратное отображение , которое определяется так: для любого полагаем , если . Обратное для отображение обозначается .

Всякое подмножество декартова произведения называется отношением на множестве . Если – отношение на множестве , то вместо пишут . Отношение на множестве называется отношением эквивалентности, если (для любых ):

(1) ,

(2) ,

(3) и .

Если , то элементы и называются эквивалентными.

Положим . Если элементы и эквивалентны, то множества и совпадают, а если не эквивалентны, то эти множества не пересекаются. Они называются классами эквивалентности по отношению . Классы эквивалентности образуют разбиение множества . Обратно, всякое разбиение множества порождает отношение эквивалентности на этом множестве: полагаем , если и принадлежат одному элементу разбиения.

3

Классы эквивалентности по отношению на множестве образуют новое множество, которое называется фактормножеством по отношению эквивалентности и обозначается . При этом определено естественное отображение

множества на фактормножество , называемое факторотображением или проектированием.