23. Уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе (назначение, формулы перехода к естественной форме)

Просмотров: 12421

Уравнение множественной регрессии  в стандартизованном масштабе:

,

где   - стандартизованные переменные

β - стандартизованные коэффициенты регрессии.

,   , для которых среднее значение равно нулю:  , a среднее квадратическое отклонение равно единице:  ;

Применяя МНК к уравнению множественной регрессии в стандартизованном масштабе, после соответствующих преобразований получим систему нормальных уравнений вида:

 

Решая его методом определителей, найдем параметры – стандартизованные коэффициенты регрессии (β - коэффициенты).

Стандартизованные коэффициенты регрессии показывают, на сколько сигм изменится  в среднем результат, если соответствующий фактор хi изменится на одну сигму при неизменном среднем уровне других факторов. В силу того, что все переменные заданы как центрированные и нормированные, стандартизованные коэффициенты регрессии βi сравнимы между собой. Сравнивая их друг с другом, можно ранжировать факторы по силе их воздействия на результат. В этом основное достоинство стандартизованных коэффициентов регрессии в отличие от коэффициентов «чистой» регрессии, которые не сравнимы между собой.

В парной зависимости стандартизованный коэффициент регрессии является линейным коэффициентом корреляции ryx. Подобно тому, как в парной зависимости стандартизованный коэффициент регрессии и корреляции связаны между собой, так и во множественной регрессии коэффициенты «чистой регрессии» bi связаны со стандартизованными коэффициентами регрессии βi, а именно:                 

Это позволяет от уравнения регрессии в стандартизованном масштабе

                     

переходить к уравнению регрессии в натуральном масштабе переменных:

.

Параметр а определяется как

.

Рассмотренный смысл стандартизованных коэффициентов регрессии позволяет их использовать при отсеве факторов – из модели исключаются факторы с наименьшим значением βi.           

При двухфакторном анализе для уравнения регрессии в стандартизованном масштабе   β-коэффициенты могут быть определены с помощью коэффициентов частной корреляции по формулам:

При нелинейной зависимости признаков, приводимой к линейному виду, параметры множественной регрессии также определяются МНК с той лишь разницей, что он используется не к исходной информации, а к преобразованным данным. Так, рассматривая степенную функцию

,

мы преобразовываем ее в линейный вид

,

где переменные выражены в логарифмах.

Далее обработка МНК та же: строится система нормальных уравнений и определяется параметры lga, b1, b2,…, bp. Потенцируя значение lga, найдем параметр а и соответственно общий вид уравнения степенной функции.

 

24. Коэффициент множественной корреляции, скорректированный коэффициент множественной корреляции, множественный коэффициент детерминации.

Просмотров: 6969

Экономические явления чаще всего адекватно описываются именно многофакторными моделями. Поэтому возникает необходимость обобщить рассмотренное выше корреляционное отношение (6.4) на случай нескольких переменных.

Теснота линейной взаимосвязи между переменной y и рядом переменных xj, рассматриваемых в целом, может быть определена с помощью коэффициента множественной корреляции.

Предположим, что переменная y испытывает влияние двух переменных - x и z. В этом случае коэффициент множественной корреляции может быть определен по формуле:

.

(6.9)

где ryx, ryz, rxz - простые коэффициенты линейной парной корреляции, определенные из соотношения (6.4).

Коэффициент множественной корреляции заключен в пределах 0 ≤ R ≤ 1. Он не меньше, чем абсолютная величина любого парного или частного коэффициента корреляции с таким же первичным индексом.

С помощью множественного коэффициента (по мере приближения R к 1) делается вывод о тесноте взаимосвязи, но не о ее направлении. Величина R2, называемая множественным коэффициентом детерминации, показывает, какую долю вариации исследуемой переменной (y) объясняет вариация остальных учтенных переменных (x, z).

Скорректированный индекс множественной детерминации содержит поправку на число степеней свободы и рассчитывается по формуле:

где n-число наблюдений; m – число факторов.