14. Оценка существенности параметров и статистическая проверка гипотез. T-критерий Стьюдента.

Просмотров: 3159

В линейной регрессии обычно оценивается значимость не только уравнения в целом, но и отдельных его параметров. С этой целью по каждому из параметров определяется его стандартная ошибка: mb и ma .

, (8.2)

где S2 – остаточная дисперсия на одну степень свободы.

Величина стандартной ошибки совместно с t-распределением Стьюдента при n-2 степенях свободы применяется для проверки существенности коэффициента регрессии.

При гипотезе Н0: b-b0=0, t-статистика выглядит следующим образом:

Значение сравнивается с табличным значением при определенном уровне значимости и числе степеней свободы (n-2).

Если фактическое значение t-критерия превышает табличное, то гипотезу о несущественности коэффициента регрессии можно отклонить.

Процедура оценивания существенности параметраа не отличается от уже рассмотренной для коэффициента регрессии.

15. Взаимосвязь t-статистики и f-статистики для парной регрессии.

Просмотров: 2657

Существует связь между  -критерием Стьюдента и  -критерием Фишера:         .                                     В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое   значение как точечный прогноз   при  , т.е. путем подстановки в уравнение регрессии   соответствующего значения  . Однако точечный прогноз явно не реален. Поэтому он дополняется расчетом стандартной ошибки  , т.е.  , и соответственно интервальной оценкой прогнозного значения  :

,

где  , а   – средняя ошибка прогнозируемого индивидуального значения:

.               

16. Коэффициент эластичности. Его смысл и определение.

Просмотров: 3383

Среди нелинейных моделей наиболее часто используется степенная функция  , которая приводится к линейному виду логарифмированием:

,

где  . Т.е. МНК мы применяем для преобразованных данных:

а затем потенцированием находим искомое уравнение.

Широкое использование степенной функции связано с тем, что параметр   в ней имеет четкое экономическое истолкование – он является коэффициентом эластичности.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов измениться в среднем результат, если фактор изменится на 1%. Формула для расчета коэффициента эластичности имеет вид:

.                                                                        (1.19)

Так как для остальных функций коэффициент эластичности не является постоянной величиной, а зависит от соответствующего значения фактора  , то обычно рассчитывается средний коэффициент эластичности:

.                                                                      (1.20)

Приведем формулы для расчета средних коэффициентов эластичности для наиболее часто используемых типов уравнений регрессии:

17. Оценка статистической значимости уравнения в целом. F-критерий Фишера.

Просмотров: 6344

Поскольку не все точки поля корреляции лежат на линии регрессии, то всегда имеет место их разброс как обусловленный влиянием фактора х, т. е. регрессией у по х, так и вызванный действием прочих причин (необъясненная вариация). Пригодность линии регрессии для прогноза зависит от того, какая часть общей вариации признака у приходится на объясненную вариацию. Очевидно, что если сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией, будет больше остаточной суммы квадратов, то уравнение регрессии статистически значимо и фактор х оказывает существенное воздействие на результат у. Это равносильно тому, что коэффициент детерминации R2 будет приближаться к единице.

Любая сумма квадратов отклонений связана с числом степеней свободы (df— degrees of freedom), т. е. с числом свободы независимого варьирования признака. Число степеней свободы связано с числом единиц совокупностиN и с числом определяемых по ней констант. Применительно к исследуемой проблеме число степеней свободы должно показать, сколько независимых отклонений из N возможных  требуется для образования данной суммы квадратов.

Так, для общей суммы квадратов  требуется (n-1) независимых отклонений, ибо по совокупности из nединиц после расчета среднего уровня варьируют лишь (n - 1) число отклонений. При расчете факторной суммы квадратов  - 1 степень свободы, и при расчете остаточной суммы квадратов  - (n-2) степени свободы.

Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину F – отношения (F - критерий):

(8.1)

В качестве нулевой гипотезы Н0выдвигается предположение о том, что линейной зависимости между x и y не существует.

Если нулевая гипотеза справедлива, то факторная и остаточная дисперсии не отличаются друг от друга. Для Н0необходимо опровержение, чтобы факторная дисперсия превышала остаточную в несколько раз.

Английским статистиком Снедекором разработаны таблицы критических значений F-отношений при разных уровнях существенности нулевой гипотезы и различном числе степеней свободы.

Табличное значение F-критерия – это максимальная величина отношения дисперсий, которая может иметь место при случайном их расхождении для данного уровня вероятности наличия нулевой гипотезы. Вычисленное значение F -отношения признается достоверным (отличным от единицы), если оно больше табличного. В этом случае нулевая гипотеза об отсутствии связи признаков отклоняется и делается вывод о существенности этой связи.

Если же величина окажется меньше табличной, то вероятность нулевой гипотезы выше заданного уровня (например, 0,05) и она не может быть отклонена, без серьезного риска сделать неправильный вывод о наличии связи. В этом случае уравнение регрессии считается статистически незначимым, Н0 не отклоняется.