
- •3. Этапы построения эконометрической модели.
- •4. Спецификация моделей парной регрессии.
- •5. Случайный член, причины его существования.
- •6. Условия нормальной линейной регрессии (Гаусса-Маркова)
- •7. Метод наименьших квадратов
- •8. Свойства коэффициентов регрессии.
- •9. Нелинейная регрессия. Методы линеаризации.
- •10. Функциональная спецификация модели парной регрессии.(Вопрос4)
- •12. Определение тесноты связи между факторами: линейный коэффициент корреляции, коэффициент детерминации.
- •13. Оценка тесноты связи в нелинейной регрессионной модели.
- •14. Оценка существенности параметров и статистическая проверка гипотез. T-критерий Стьюдента.
- •15. Взаимосвязь t-статистики и f-статистики для парной регрессии.
- •16. Коэффициент эластичности. Его смысл и определение.
- •17. Оценка статистической значимости уравнения в целом. F-критерий Фишера.
- •18. Модель множественной регрессии.
- •19. Ограничения модели множественной регрессии.
- •20. Идентификация параметров множественной регрессии мнк.
- •21. Интерпретация множественного уравнения регрессии.
- •22. Показатели тесноты связи во множественном регрессионном анализе - парные и частные коэффициенты корреляции.
- •23. Уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе (назначение, формулы перехода к естественной форме)
- •24. Коэффициент множественной корреляции, скорректированный коэффициент множественной корреляции, множественный коэффициент детерминации.
- •25. Оценка статистической значимости множественных коэффициентов регрессии, t-критерий Стьюдента.
- •26. Модели с переменной структурой (фиктивные переменные).
- •27. Оценка статистической значимости множественного уравнения регрессии, f-критерий Фишера.
- •28. Спецификация модели множественной регрессии. Свойства множественных коэффициентов регрессии.
- •29. Решение проблемы выбора модели (с ограничением и без ограничения). Методы отбора факторов: априорный и апостериорный подходы.
8. Свойства коэффициентов регрессии.
Просмотров: 4675
В
практике эконометрического анализа
чаще всего используют линейную парную
регрессию (функциональная зависимость
1). Уравнение регрессии будем искать в
виде
.
Неизвестные (пока) коэффициенты
являются
оценками параметров
.
Можно сказать, что эмпирическое уравнение
регрессии
являетсяоценкой
по выборке регрессионной
модели
.
Метод наименьших квадратов для линейной парной регрессии состоит в следующем:
,
где
Вычисляя
производные по параметрам
и
приравнивая их к нулю, приходим к
следующей системе из двух уравнений
Решение системы уравнений называется оценкой неизвестных параметров по методу наименьших квадратов, его можно найти по формулам:
где
,
,
,
.
Используя понятия выборочных дисперсий, ковариаций и корреляций оценки наименьших квадратов (решение системы уравнений) можно записать специальным образом:
,
,
где
,
—
выборочные средние,
—
выборочные
дисперсии,
—
выборочный
коэффициент корреляции.
Следовательно, парная эмпирическая линейная регрессия имеет вид
.
Нетрудно найти значения показателя, рассчитанные по линейной регрессии для тех значений объясняющего фактора, которые содержатся в выборке
,
Особое значение для проверки статистической значимости парной линейной регрессии имеют остатки (разности между значениями показателя, полученными в эксперименте, и вычисленными по уравнению линейной регрессии):
Вычисленному
коэффициенту
при
объясняющем факторе
в
парной линейной регрессии можно дать
естественную экономическую интерпретацию.
Параметр b называется
коэффициентом регрессии. Его величина
показывает, насколько единиц изменится
результат с изменением фактора на одну
единицу.
Параметр a,
вообще говоря, не имеет экономической
интерпретации. Формально
–
значение
при
.
Например, если a<0,
то попытка его экономической интерпретации
приводят к абсурду.
Зато можно интерпретировать знак при параметре а. Если, а>0, то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора.
9. Нелинейная регрессия. Методы линеаризации.
Просмотров: 18276
Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций: например, равносторонней гиперболы, параболы второй степени и др.
Различают два класса нелинейных регрессий:
регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;
регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.
Примером нелинейной регрессии по включаемым в нее объясняющим переменным могут служить следующие функции:
· полиномы разных степеней –у = а +bх + с2 + ε,
у =а + bх +сх +dx3+ ε,
равносторонняя гипербола
К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам относятся функции:
степенная — y = axbε
показательная – у = аbх ε
экспоненциальная – y=ea+bxε
Приведение к линейному виду регрессий, нелинейных по объясняющим переменным
Нелинейная регрессия по включенным переменным не таит каких-либо сложностей в оценке ее параметров. Она определяется, как и в линейной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК), ибо эти функции линейны по параметрам. Так, в параболе второй степени
у= а0 + а1 х + а2 х2 + ε
заменяя переменные х1 =х, х2 = х2, получим двухфакторное уравнение линейной регрессии:
у= а0 + а1 х1 + а2 х2 + ε
для оценки параметров которого, как будет показано далее, используется МНК.
Следовательно, полином любого порядка сводится к линейной регрессии с ее методами оценивания параметров и проверки гипотез.
Среди класса нелинейных функций, параметры которых без особых затруднений оцениваются МНК, следует назвать хорошо известную в эконометрике равностороннюю гиперболу
Для
равносторонней гиперболы такого вида,
заменив
на z,
получим линейное уравнение
регрессии y = a +bz +ε
оценка параметров которого может быть
дана МНК.
Она может быть использована не только для характеристики связи удельных расходов сырья,материалов,топлива с объемом выпускаемой продукции, времени обращения товаров от величины товарооборота, т.е. на микроуровне, но и на макроуровне. Классическим ее примером является кривая Филлипса, характеризующая нелинейное соотношение между нормой безработицы х и процентом прироста заработной платы у.
В отдельных случаях может использоваться и нелинейная модель вида
так называемая обратная модель, являющаяся разновидностью гиперболы Но, если в равносторонней гиперболе преобразованию подвергается объясняющая переменная z = 1/x и y = а + bz + ε, то для получения линейной формы зависимости в обратной модели преобразовывается у, а именно: z =1/y и z = a + bx +ε.
В результате обратная модель оказывается внутренне нелинейной и требование МНК выполняется не для фактических значений признака у, а для их обратных величин 1/у, а именно
следовательно полученная методом наименьших квадратов оценка уже не будет эффективной.
Приведение к линейному виду регрессий, нелинейных по параметрам
Данный класс нелинейных моделей подразделяется на два типа: нелинейные модели внутренне линейные и нелинейные модели внутренне нелинейные.
Если нелинейная модель внутренне линейна, то она с помощью соответствующих преобразований может быть приведена к линейному виду.
Если нелинейная модель внутренне нелинейна, то она не может быть сведена к линейной функции.
Например, в эконометрических исследованиях при изучении эластичности спроса от цен широко используется степенная функция:
y = axbε
где у – спрашиваемое количество;
х – цена;
ε – случайная ошибка.
Данная модель нелинейна относительно оцениваемых пaраметров, ибо включает параметры а и b неаддитивно. Однако ее можно считать внутренне линейной, ибо логарифмирование данного уравнения по основанию еприводит его к линейному виду:
lпу = lпа + b lnx + ln ε.
Соответственно оценки параметров а и b могут быть найдены МНК.
Если же модель представить в виде y = axbε, то она становится внутренне нелинейной, ибо ее невозможно превратить в линейный вид. Внутренне нелинейной будет и модель вида — у = а + bхc + ε, ибо это уравнение не может быть преобразовано в уравнение, линейное по коэффициентам.
В специальных исследованиях по регрессионному анализу часто к нелинейным относят модели, только внутренне нелинейные по оцениваемым параметрам, а все другие модели, которые внешне нелинейны, но путем преобразований параметров могут быть приведены к линейному виду, относятся к классу линейных моделей.
В этом плане к линейным относят, например, экспоненциальную модель y = еa+bхε, ибо логарифмируя ее по натуральному основанию, получим линейную форму модели
lnу = а + b х +lnε.
Среди нелинейных функций, которые могут быть приведены к линейному виду, в эконометрических исследованиях очень широко используется степенная функция y = axbε.
Связано это с тем, что параметр b в ней имеет четкое экономическое истолкование, т. е. он является коэффициентом эластичности. Это значит, что величина коэффициента b показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1%.
В моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, но приводимых к линейному виду, МНК применяется к преобразованным уравнениям.
Если в линейной модели и моделях, нелинейных по переменным, при оценке параметров исходят из критерия
,
то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, требование МНК применяется не к исходным данным результативного признака, а к их преобразованным величинам, т. е. lпу, 1/у.
Так, в степенной функции y = axbε МНК применяется к преобразованному уравнению lпу = lnа + xlnb.
Это значит, что оценка параметров основывается на минимизации суммы квадратов отклонений в логарифмах:
Вследствие этого оценки параметров для линеаризуемых функций МНК оказываются несколько смещенными. При исследовании взаимосвязей среди функций, использующих ln у, в эконометрике преобладают степенные зависимости – это и кривые спроса и предложения, и кривые Энгеля, и производственные функции, и кривые освоения для характеристики связи между трудоемкостью продукции и масштабами производства в период освоения выпуска нового вида изделий, и зависимость валового национального дохода от уровня занятости.