Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
Если
функция непрерывна на отрезке
,
то ее наибольшее и наименьшее значения
могут достигаться либо в точках локального
экстремума, либо на концах отрезка.
Пример 8. В треугольник с основанием a и высотой h вписан прямоугольник, основание которого лежит на основании треугольника, а две вершины – на боковых сторонах. Какими должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
Обозначим стороны прямоугольника x и y.
Площадь
треугольника АВС равна
.
С другой стороны, эта площадь равна
.
Приравняем
эти площади и выразим переменную
:
.
В
задаче требуется найти размеры
прямоугольника так, чтобы его площадь
была наибольшей. Следовательно, нужно
найти максимум функции
.
Чтобы найти экстремум функции, необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю:
.
Проверим, действительно ли в этой точке максимум.
Понятно,
что длина прямоугольника
больше нуля
и меньше основания треугольника
.
Отметим это на оси и посмотрим знак производной на полученных интервалах:
Действительно,
при
площадь
прямоугольника максимальная. Найдем
его вторую сторону и искомую площадь:
.
Задания контрольных работ Вариант 1
1. Вычислить пределы функций:
а)
;
б)
;
в)
; г)
;
д)
; е)
.
2. Исследовать на непрерывность функцию, построить график:
.
3. Найти первые производные функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
4. Вычислить дифференциалы функций:
а)
;
б)
.
5. Исследовать функции и построить их графики:
а)
; б)
.
6. Найти радиус и высоту цилиндра так, чтобы он имел наибольший объем при данной полной поверхности S. Чему равен этот объем?
Вариант 2
1. Вычислить пределы функций:
а)
;
б)
;
в)
; г)
;
д)
; е)
.
2. Исследовать на непрерывность функцию, построить график:
.
3. Найти первые производные функций:
а)
; б)
;
в)
; г)
.
4. Вычислить дифференциалы функций:
а)
;
б)
.
5. Исследовать функции и построить их графики:
а)
;
б)
.
6.
Из всех прямоугольников данного периметра
найти тот, у
которого диагональ наименьшая, и
вычислить эту диагональ.
Вариант 3
1. Вычислить пределы функций:
а)
;
б)
;
в)
; г)
;
д)
; е)
.
2. Исследовать на непрерывность функцию, построить график:
.
3. Найти первые производные функций:
а)
; б)
;
в)
; г)
.
4. Вычислить дифференциалы функций:
а)
;
б)
.
5. Исследовать функции и построить их графики:
а)
; б)
.
6. Из всех круговых секторов, имеющих периметр , найти сектор с наибольшей площадью и вычислить эту площадь.
Вариант 4
1. Вычислить пределы функций:
а)
;
б)
;
в)
; г)
;
д)
; е)
.
2. Исследовать на непрерывность функцию, построить график:
.
3. Найти первые производные функций:
а)
; б)
;
в)
; г)
.
4. Вычислить дифференциалы функций:
а)
;
б)
.
5. Исследовать функции и построить их графики:
а)
; б)
.
6.
Из всех конусов, вписанных в шар радиуса
,
найти тот, у
которого объем наибольший. Чему равен
этот объем?