§2. Приложения производной

Определение 5. Функция возрастает (убывает) на интервале , если большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее (меньшее) значение функции, то есть из того, что < , следует < (в случае убывания > ). Интервалы, где функция возрастает или убывает, называют интервалами монотонности.

Определение 6. Функция имеет в точке локальный максимум (минимум), если существует некоторая окрестность этой точки, что для всех ее точек выполняется неравенство (для минимума ). Точки локального минимума или максимума называют также точками локального экстремума.

Необходимые условия локального экстремума. Если функция имеет в точке локальный экстремум, то:

1) либо производная существует и ;

2) либо производная не существует.

Достаточные условия локального экстремума. Если при переходе через точку производная меняет знак с «+» на «–», то это точка максимума, если с «–» на «+», то точка минимума. Если на интервале производная , то функция монотонно возрастает на данном интервале; если , то функция на нем монотонно убывает.

Определение 7. Функция и ее график называются выпуклыми (вогнутыми) на интервале , если на этом интервале график функции лежит ниже (выше) любой своей касательной.

Определение 8. Точка на кривой, в которой выпуклость переходит в вогнутость и наоборот, называется точкой перегиба.

Достаточные условия выпуклости (вогнутости). Если на интервале вторая производная , то функция вогнута на данном интервале; если , то функция выпукла.

Определение 9. Прямая называется асимптотой графика функции , если расстояние от точки графика до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты:

1) прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из значений или равно ∞;

2) если существуют конечные пределы и , то прямая является наклонной асимптотой графика ;

3) если , то асимптота называется горизонтальной.

Общая схема исследования функций с помощью производной.

1. Найти область определения функции, нули функции, исследовать функцию на четность, нечетность.

2. Найти производную функции, интервалы монотонности (возрастания, убывания) и точки экстремума.

3. Найти вторую производную функции, интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба.

4. Найти асимптоты графика функции.

5. Нанести характерные точки.

6. Построить график функции.

Пример 7. Исследовать функцию и построить ее график.

1. Знаменатель дроби не должен обращаться в нуль, следовательно, область определения функции .

2. Найдем первую производную

и приравняем ее к нулю:

.

Отметим эти точки на оси, на полученных интервалах исследуем знак производной, определим интервалы монотонности и точки экстремума:

Вычислим значения в точках экстремума: , .

3. Найдем вторую производную функции:

.

Точек, в которых производная обращается в нуль, нет (т.к. числитель не равен нулю). Производная не существует в точке .

Отметим эту точку на оси, на полученных интервалах исследуем знак второй производной, определим интервалы выпуклости, вогнутости:

Точка не является точкой перегиба, так как в ней функция не определена.

4. Найдем асимптоты графика функции.

Рассмотрим точку и вычислим в ней предел функции: , следовательно, в этой точке разрыв 2-го рода, и прямая является вертикальной асимптотой графика функции.

Исследуем функцию на наличие наклонной асимптоты:

Следовательно, прямая является наклонной асимптотой графика.

5. Нанесем точки экстремума , . Для более точного построения можно нанести еще другие точки, например, , .

6. Построим график: