Основные правила вычисления производных.

1. Производная постоянного числа равна нулю:

2. Постоянное число можно выносить перед знаком производной:

3. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных:

4. Производная произведения равна:

5. Производная частного равна:

Пример 1. Вычислить производную функции

.

Выполним следующий порядок вычислений:

1. воспользуемся третьим правилом для производной суммы;

2. по второму правилу вынесем постоянные множители за знак производной;

3. представим дробь и корень в виде степенных функции*² и ;

4. воспользуемся первым правилом и первой табличной производной;

5. преобразуем полученное выражение.

Итак, получаем следующее решение:

.

Пример 2. Вычислить производную функции .

Выполним следующий порядок вычислений:

1. воспользуемся четвертым правилом для производной произведения;

2. воспользуемся первой и третьей табличными производными;

3. вынесем общий множитель за скобки:

Определение 2. Сложной называется функция, полученная с помощью суперпозиции функции (внешняя функция) и функции (внутренняя функция), т.е. .

Например, функция является сложной, т.к. она получена с помощью суперпозиции функций и .

Функция также является сложной, т.к. она получена с помощью суперпозиции функций и .

Таблица производных сложных функций.

1.		6.
2.		7.
3.		8.
4.		9.
5.		10.

Пример 3. Вычислить производную сложной функции .

Выполним следующий порядок вычислений:

1. обозначим буквой внутреннюю функцию;

2. воспользуемся первой табличной производной для сложной функции;

3. подставим обратно вместо внутреннюю функцию;

4. воспользуемся шестой табличной производной:

Пример 4. Вычислить производную сложной функции

.

Выполним следующий порядок вычислений:

1. воспользуемся пятым правилом для производной частного;

2. обозначим буквой внутреннюю функцию;

3. воспользуемся четвертой табличной производной для сложной функции и пятой табличной производной;

4. подставим обратно вместо внутреннюю функцию;

5. вынесем общий множитель за скобки.

Определение 3. Производной -го порядка ( ) функции называется производная (первого порядка) от производной -го порядка.

Обозначение 2. Для -ой производной применяют обозначения . Для малых используют штрихи или римские числа без скобок: , , , и т.д.

Пример 5. Вычислить производную третьего порядка функции .

*³.

.

Определение 4. Если функция имеет конечную производную в точке , то главная линейная часть приращения функции, т.е. , называется ее дифференциалом.

Обозначение 3. Дифференциал (первого порядка) обозначается и вычисляется, соответственно, по формуле .

Пример 6. Вычислить дифференциал функции

.

Вычислим сначала производную данной функции и воспользуемся определением и обозначением дифференциала.

.

Следовательно, .