§3. Непрерывность функции

Определение 7. Число А называется пределом функции при стремящемся к слева (справа), если для любой последовательности x₁, x₂, …, x_n,…, где все ( ), сходящейся к , последовательность соответствующих значений функции , , …, , … сходится к числу А.

Обозначение 6. ( ).

Определение 8. Функция называется непрерывной в точке , если выполняются три условия:

1. функция определена в точке и в некоторой ее окрестности;

2. существует предел функции в этой точке , т.е. существуют пределы слева и справа и они равны ;

3. этот предел равен значению функции в этой точке, т.е. .

Функцию, не являющуюся непрерывной в точке , называют разрывной в этой точке.

Классификация точек разрыва. Разрывы имеют место тогда и только тогда, когда нарушается хотя бы одно из трех условий определения 8. Различают разрывы 1-го и 2-го рода.

Разрывы 1-го рода возникают, если:

1. конечные пределы слева и справа существуют, но не равны друг другу («неустранимый разрыв»);

2. конечные пределы слева и справа равны («устранимый разрыв»), но:

а) функция не определена в точке;

б) функция определена в точке, но ее значение в этой точке не совпадает со значением предела.

Остальные разрывы называются разрывами 2-го рода.

Определение 9. Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точке этого отрезка.

Теорема 5 (о непрерывности элементарных функций). Элементарные функции (степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические и функции, составленные из них и постоянных чисел с помощью конечного числа арифметических операций) непрерывные каждой точке своей области определения.

Пример 15. Исследовать на непрерывность функцию

и построить ее график.

Так как элементарные функции непрерывны, то данная функция непрерывна всюду, за исключением, быть может, двух точек x = 0 и x = 2. Исследуем функцию в этих точках, для этого проверим выполнение трех условий определения 8.

Рассмотрим точку x = 0, вычислим в ней пределы слева, справа и значение функции:

, , .

Пределы слева и справа существуют, равны и равны значению функции в точке, следовательно, функция непрерывна в точке x = 0.

Аналогично рассмотрим точку x = 2:

, , .

Пределы слева и справа не равны, следовательно, в данной точке неустранимый разрыв 1-го рода.

Построим график данной функции:

Раздел 2 «Дифференциальное исчисление» §1. Производная и дифференциал функции

Определение 1. Производной функции в точке = называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):

Обозначение 1. Производная функции в произвольной точке имеет несколько обозначений: , , , .

Таблица производных основных функций

1.	частный случай	2.	частный случай
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.