§2. Предел функции

Определение 5. Число А называется пределом функции при , стремящемся к , если для любой последовательности x₁, x₂, …, x_n,…, сходящейся к , последовательность соответствующих значений функции , , …, , … сходится к числу А.

4. Обозначение 4. .

5. Пример 7. Вычислить предел .

Подставим в данное выражение вместо x число, равное –2:

6. Пример 8. Вычислить предел .

Подставим в данное выражение вместо x число, равное 1, получим неопределенность вида . Для устранения этой неопределенности воспользуемся следующим приемом – разложим числитель и знаменатель на множители и полученный общий множитель сократим. Числитель разлагается по формуле сокращенного умножения*¹:

.

В знаменателе стоит квадратный многочлен, который можно разложить на множители по формуле:

,

где , .

Таким образом, получаем следующее решение:

Пример 9. Вычислить предел .

Подставим в данное выражение вместо x число, равное 2, получим неопределенность вида . Заметим, что в числителе содержится иррациональное выражение (корень). Для устранения неопределенности в этом случае воспользуемся следующим приемом – избавимся от корня путем домножения числителя и знаменателя на сопряженное к корню выражение . Тогда числитель свернется по формуле сокращенного умножения:

.

Таким образом, получаем следующее решение:

.

Определение 6. Число А называется пределом функции при стремящемся к бесконечности, если для любой бесконечно большой последовательности x₁, x₂, …, x_n,…, последовательность соответствующих значений функции , ,…, ,…, сходится к числу А.

Обозначение 5. .

Пример 10. Вычислить предел .

Заметим, что при числитель и знаменатель также стремятся к бесконечности. Следовательно, в данном примере присутствует неопределенность вида . Для устранения этой неопределенности поделим числитель и знаменатель на старшую степень x³ и воспользуемся тем фактом, что при обратная величина стремится к нулю, т.е. .

Таким образом, получаем следующее решение:

.

Теорема 3 (первый замечательный предел). .

Пример 11. Вычислить предел .

Подставим в данное выражение вместо x число, равное 0, получим неопределенность вида . Для устранения этой неопределенности воспользуемся первым замечательным пределом, при этом предварительно умножим числитель и знаменатель в исходном примере на 3. Получим следующее решение:

Пример 12. Вычислить предел .

Подставим в данное выражение вместо x число, равное 0, получим неопределенность вида . Для устранения этой неопределенности воспользуемся первым замечательным пределом, при этом предварительно воспользуемся тригонометрической формулой :

.

Теорема 4 (второй замечательный предел). .

Пример 13. Вычислить предел .

Заметим, что при выражение, стоящее в скобках , стремится к 1, а степень 5x стремится к бесконечности. Следовательно, в данном примере имеется неопределенность вида . Для устранения этой неопределенности воспользуемся вторым замечательным пределом, при этом в исходном примере умножим и разделим степень на 2. Получим следующее решение:

.

Пример 14. Вычислить предел .

Заметим, что при выражение, стоящее в скобках , стремится к 1, а степень (3x+1) стремится к бесконечности. Следовательно, в данном примере имеется неопределенность вида . Для устранения этой неопределенности воспользуемся вторым замечательным пределом, при этом сначала преобразуем выражение, стоящее в скобках, разделив числитель на знаменатель, а затем домножим и разделим степень на :

.