Раздел 1. Теория пределов §1. Предел числовой последовательности

Определение 1. Если каждому натуральному числу n = 1, 2, … по некоторому правилу поставлено в соответствие единственное число , то полученное множество x₁, x₂, …, x_n,… называется числовой последовательностью.

1. Обозначение 1. – номер элемента последовательности;

x₁, x₂, x₃,… – элементы последовательности;

– общий элемент последовательности;

– вся числовая последовательность.

1. Пример 1. Рассмотрим последовательность .

Выпишем несколько ее элементов и изобразим их на числовой оси:

По рисунку видно, что элементы последовательности «сгущаются» у числа 2.

Определение 2. Число А называется пределом (точкой сгущения) последовательности x₁, x₂, …, x_n,… , если вне любого интервала содержится лишь конечное (или пустое) множество членов этой последовательности. В этом случае говорят, что последовательность сходится к числу А.

2. Обозначение 2. или .

Определение 3. Если предел числовой последовательности равен бесконечности (то есть, для любого сколь угодно большого числа найдется такой номер N, что для всех n≥ N выполняется неравенство ), то последовательность называется бесконечно большой.

Пример 2. Рассмотрим последовательность .

Выпишем несколько ее элементов и изобразим их на числовой оси:

По рисунку видно, что элементы последовательности «уходят в бесконечность», то есть последовательность является бесконечно большой.

3. Обозначение 3. или .

Определение 4. Последовательность, предел которой равен нулю, называется бесконечно малой.

2. Пример 3. Рассмотрим последовательность .

Выпишем несколько ее элементов и изобразим их на числовой оси:

По рисунку видно, что элементы последовательности «стремятся» к нулю, то есть последовательность является бесконечно малой.

Теорема 1 (о бесконечно малой и бесконечно большой последовательностях). Если – бесконечно малая последовательность , то обратная к ней последовательность является бесконечно большой. Если – бесконечно большая последовательность , то обратная к ней последовательность является бесконечно малой.

Пример 4. Последовательность является бесконечно малой, а обратная к ней последовательность – бесконечно большая.

Теорема 2 (об арифметических действиях со сходящимися последовательностями). Если последовательности и имеют конечные пределы, то есть и , то предел их суммы, разности, произведения или частного равен, соответственно, сумме, разности, произведению или частному пределов (если предел знаменателя не равен нулю), то есть:

1) ;

2) ;

3) ;

4) , если .

3. Пример 5. Вычислить предел .

Заметим, что в числителе и знаменателе находятся бесконечно большие последовательности, следовательно, пока теорему 2 применять нельзя. Применим следующий прием – разделим числитель и знаменатель на старшую степень , воспользуемся тем фактом, что и применим теорему 2:

.

4. Пример 6. Вычислить предел .

Аналогично предыдущему примеру разделим числитель и знаменатель на старшую степень , воспользуемся тем фактом, что , и заметим, что в знаменателе получится бесконечно малая последовательность. Следовательно, по теореме 1 обратная к бесконечно малой последовательности есть бесконечно большая последовательность: