1. Дискретная случайная величина X имеет биномиальный закон распределения, если она принимает значения 0, 1, 2, ..., т , ..., п с вероятностями

где 0 < р < 1, q = 1 – р, т = 0, 1, ..., п.

Биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения числа X = т наступлений события А в п независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р.

Формула (7.48) есть формула Бернулли .

Числовые характеристики: М (Х ) = пр , D ( X ) = npq .

В частном случае, при п = 1 формула (7.48) принимает вид

и получаемая случайная величина называется альтернативной, или распределенной по закону Бернулли.

Ее числовые характеристики М (Х ) = р , D ( X ) = pq .

Для частости события в п независимых испытаниях (где X = т имеет биномиальный закон распределения с параметром р) числовые характеристики: M ( W ) = р , D ( W ) = pq /п.

Пример 7.18. В магазин поступила обувь с двух фабрик в соотношении 2 : 3. Куплено четыре пары обуви. Найти закон распределения числа купленных пар обуви, изготовленной первой фабрикой. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Решение.

Вероятность того, что случайно выбранная пара обуви изготовлена первой фабрикой, равна р = 2 / (2 + 3) = 0,4. Случайная величина X — число пар обуви среди четырех, изготовленных первой фабрикой, имеет биномиальный закон распределения с параметрами п = А, р = 0,4. Ряд распределения X имеет вид

xi	0	1	2	3	4
pi	0,1296	0,3456	0,3456	0,1536	0,0256

(Значения p_t = P ( X = т ), где т = 0, 1, 2, 3, 4, вычислены по формуле )

Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины X по формулам: М (Х ) = пр = 4 *0,4 = 1,6; D ( X ) = npq = 4 * 0,4 * 0,6 = 0,96. ►

2. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения Пуассона, если она принимает значения 0, 1, 2, ..., т , ... (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями

где т = 0, 1, 2,...

Числовые характеристики: М (Х ) = λ , D ( X ) = λ .

При р → 0, n → ∞, n р → λ закон распределения Пуассона является предельным случаем биномиального распределения, вследствие чего часто называется «законом редких явлений».

3. Дискретная случайная величина X = т имеет геометрическое распределение, если она принимает значения 1, 2, ..., т... (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями

где 0 < p < 1, q = 1 – p .

Числовые характеристики:

Геометрическое распределение при k = 1 является частным случаем распределения Паскаля, для которого

и числовые характеристики:

Геометрическое распределение характеризует число т испытаний (проведенных по схеме Бернулли с вероятностью р наступления события в каждом испытании) до первого положительного исхода; распределение Паскаля — до k -го положительного исхода.

В отличие от закона Паскаля отрицательное биномиальное распределение характеризует распределение числа т непоявлений событий до k -го положительного исхода. Его функция вероятностей

и числовые характеристики:

4. Дискретная случайная величина X имеет гипергеометрическое распределение, если она принимает значения 0, 1, 2, т, ... min ( n , M ) с вероятностями

и числовые характеристики:

5. Непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения на отрезке [ a , b ],если ее плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.е.

6. Непрерывная случайная величина X имеет показательный (экспоненциальный ) законраспределения с параметром X , если ее плотность вероятности имеет вид (рис. 7.9).

Рис. 7.9

Числовые характеристики:

7. Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса ) с параметрами а и σ² , т.е. N ( a ; σ ² ), если ее плотность вероятности имеет вид

Кривую нормального закона распределения называют нормальной (или гауссовой) кривой (рис. 7.10).

Рис. 7.10

Числовые характеристики: М (Х ) = a , D ( X ) = σ² .

При изменении только параметра а нормальная кривая перемещается вдоль оси Ох , при изменении только параметра σ² меняется форма нормальной кривой.

Нормальный закон распределения с параметрами а = 0, σ² = 1, т.е. N (0; 1), называется стандартным или нормированным.

Функция распределения случайной величины X , распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф(х ) по формуле

где — функция (интеграл вероятностей) Лапласа, равная площади под стандартной нормальной кривой N (0; 1) на отрезке [– x , x ].

Свойства случайной величины, распределенной по нормальному закону:

1) Вероятность попадания случайной величины X , распределенной по нормальному закону, в интервал[ x ₁ , x ₂ ] равна

где

2) Вероятность того, что отклонение случайной величины X , распределенной по нормальному закону, от математического ожидания а не превысит величину Δ > 0 (по абсолютной величине), равна

P (| X – a | ≤ Δ ) = Φ ( t ), (7..55)

где

Из второго свойства, в частности, вытекает правило трех сигм.

Если случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами а и σ² , т.е. N ( a ; σ² ), то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале (а – 3σ, а + 3σ).

3) Для нормального закона коэффициент асимметрии A = 0, эксцесс E = 0.

Пример 7.19. Полагая, что рост мужчин определенной возрастной группы есть нормально распределенная случайная величина X с параметрами а = 173 и σ² = 36, найти доли костюмов четвертого (176–182 см) и третьего (170–176 см) ростов, которые нужно предусмотреть в общем объеме производства для данной возрастной группы.

Решение.

Доля костюмов четвертого роста (176–182 см) в общем объеме производства определится по формуле (7.54) как вероятность

так как

Долю костюмов третьего роста (170–176 см) можно было бы определить аналогично по формуле (7.54), но проще это сделать по формуле (7.55):

►