Тема 2. Случайные величины и их характеристики

Случайные величины и их числовые характеристики

Под случайной величиной, понимается переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений (какое именно, заранее неизвестно).

Более строго случайная величина X определяется как функция, заданная на множестве элементарных исходов (или в пространстве элементарных событий), т.е.

X = f (ω ),

где ω — элементарный исход (или элементарное событие, принадлежащее пространству Ω).

Например, случайная величина X — число дней во взятом наудачу месяце года есть функция элементарных исходов (событий) ω , т.е. X = f (ω ), где ω ₁ , ω ₂ , …, ω ₁₂ — соответственно 1-й, 2-й, ..., 12-й месяц года — образуют все множество Ω = { ω ₁ , ω ₂ , …, ω ₁₂ } элементарных исходов (пространство элементарных событий), получаемых в результате испытания — выбора наудачу месяца года, ибо X ( ω ₁ ) = 31, X ( ω ₂ ) = 28 или X ( ω ₂ ) = 29, ..., X ( ω ₁₂ ) = 31.

Для дискретной случайной величины множество Ξ возможных значений случайной величины, т.е. функции f (ω ), конечно или счетно, для непрерывной — бесконечно и несчетно.

Примеры случайных величин: X — число родившихся детей в течение суток в Москве; Y — число произведенных выстрелов до первого попадания; Z — дальность полета артиллерийского снаряда.

Здесь X , Y — дискретные случайные величины, a Z — непрерывная случайная величина.

Наиболее полным, исчерпывающим описанием случайной величины является ее закон распределения.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан в виде таблицы, аналитически (в виде формулы) и графически.

xi	x 1	x 2	…	xn
pi	p 1	p 2	…	pn

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.

Для любой дискретной случайной величины

Если по оси абсцисс откладывать значения случайной величины, по оси ординат соответствующие их вероятности, то получаемая (соединением точек) ломаная называется многоугольником или полигоном распределения вероятностей.

Пример 7.10. В лотерее разыгрывается: автомобиль стоимостью 5000 ден. ед., четыре телевизора стоимостью 250 ден. ед., пять видеомагнитофонов стоимостью 200 ден. ед. Всего продается 1000 билетов по 7 ден. ед.

Составить закон распределения чистого выигрыша, полученного участником лотереи, купившим один билет.

Решение.

Возможные значения случайной величины X — чистого выигрыша на один билет — равны 0 – 7 = –7 ден. ед., (если билет не выиграл), 200 – 7 = 193, 250 – 7 = 243, 5000 – 7 = 4993 ден. ед. (если на билет выпал выигрыш соответственно видеомагнитофона, телевизора или автомобиля). Учитывая, что из 1000 билетов число невыигравших составляет 990, а указанных выигрышей соответственно 5, 4 и 1, и используя классическое определение вероятности, получаем Р (Х = –7) = 990/1000 = 0,990; Р (Х = 193) = 5/1000 = 0,005; Р (Х = 243) = 4/1000 = 0,004; Р (Х = 4993) = 1/1000 = 0,001, т.е. ряд распределения

xi	–7	193	243	4993	►
pi	0,990	0,005	0,004	0,001

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина.

Математические операции над случайными величинами.

Если известны распределения независимых дискретных случайных величин

то математические операции над ними определяются следующим образом ( m  N ; i = 1, 2, ..., n ; j = 1, 2, ..., т ):

Если среди значений появляются одинаковые, то соответствующие столбцы надо объединить в один, приписав им суммарную вероятность.

Для описания случайных величин часто используются их числовые характеристики — числа, в сжатой форме выражающие наиболее существенные черты распределения случайной величины. Наиболее важными из них являются математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и др. В силу определения, числовые характеристики случайных величин являются величинами неслучайными, определенными.

Математическим ожиданием, или средним значением, М (Х ) дискретной случайной величины Xназывается сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

для математического ожидания используются также обозначения Е (Х ), .

Пример 7.11. Вычислить М (Х ) для случайной величины X — чистого выигрыша по данным примера 7.9.

Решение.

По формуле (7.33)

М (Х ) = (–7) * 0,990 + 193 * 0,005 + 243 * 0,004+ 4993 * 0,001 = 0

т.е. средний выигрыш равен нулю. Полученный результат означает, что вся выручка от продажи билетов лотереи идет на выигрыши. ►

При п → ∞ математическое ожидание представляет сумму ряда

если он абсолютно сходится.

Свойства математического ожидания.

1. М (С ) = С, где С — постоянная величина.

2. M ( kX ) = kM ( X ).

3. M ( X ± Y ) = М (Х ) ± М ( Y ).

4. M ( XY ) = М (Х ) * М ( Y ) + K_xy , (для любых случайных величин), где K_xy — ковариация случайных величин X и Y .

5. M ( XY ) = М (Х ) * М ( Y ), где X , Y — независимые случайные величины.

6. М (Х ± С ) = М (Х ) ± С , где С — постоянная величина.

7. М (Х – а ) = 0, где а = М (Х ).

Дисперсией D ( X ) случайной величины X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

D ( X ) = M [ X – M ( X )]²

или

D ( X ) = M ( X – a )² (7.34)

где а = М (Х ).

(Для дисперсии случайной величины X используются также обозначение Var ( X ), )

Дисперсия характеризует отклонение (разброс, рассеяние, вариацию) значений случайной величины относительно среднего значения.

Если случайная величина X — дискретная с конечным числом значений, то

При п → ∞ дисперсия представляет сумму ряда если он сходится.

Дисперсия D ( X ) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину

Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением или стандартом) σ _xслучайной величины X называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии:

Свойства дисперсии случайной величины.

1. D ( C ) = 0, где С — постоянная величина.

2. D ( kX ) = k ² D ( X ).

3. D ( X ) = М (Х ² ) – а ² , где а = М (Х ).

4 . D ( X ± Y ) = D (Х ) ± D ( Y ) ± K_xy (для любых случайных величин).

5. D ( X + Y ) = D ( X – Y ) = D (Х ) + D ( Y ), где X и Y — независимые случайные величины.

Пример 7.12. Вычислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X по данным примера .

Решение. В примере 7.10. было вычислено М (Х ) = 0.

Первый способ. По формулам (7.35)

D ( X ) = (–7 – 0)² * 0,990 + (193 – 0)² * 0,005 + (243 – 0)² * 0,004 +

+ (4993 – 0)² * 0,001 =25 401.

Второй способ. По свойству (3) D ( X ) = М (Х ² ) – а ² :

(В данном случае расчеты дисперсии двумя способами оказались практически идентичными, так как М(Х ) = 0.) По формуле (7.36)

►

Механическая интерпретация М (Х ) и D ( X ) . Если предположить, что каждая материальная точка с абсциссой x_i имеет массу, равную р _i ( i = 1, 2, ..., п ), а вся единичная масса распределена между этими точками, то математическое ожидание представляет собой абсциссу центра масс системы материальных точек, а дисперсия — момент инерции распределения масс относительно центра масс.

Интерпретация М (Х ) и D ( X ) в финансовом анализе. Если известно распределение доходности Xнекоторого актива (например, акции), то ее математическое ожидание выражает среднюю (прогнозную) доходность актива, а дисперсия — меру отклонения доходности от ожидаемого среднего значения, т.е. риск данного актива.

Пример 7.13. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z = 8Х – 5 Y + 7, если даны М (Х ) = 3, M ( Y ) = 2, D ( X ) = 1,5 и D ( Y ) = 1 и известно, что X и Y — независимые случайные величины.

Решение.

Используя свойства математического ожидания и дисперсии, получаем

M ( Z ) = 8М (Х ) – 5 M ( Y ) + 7 = 8 * 3 – 5 * 2 + 7 = 21; D ( Z ) = 8² D ( X ) + 5² D ( Y ) + 0 = 64 * 1,5 + 25 * 1 = 121. ►

Функция распределения случайной величины. Непрерывные случайные величины

Функцией распределения случайной величины X называется функция F ( x ), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее х :

F ( x ) = P ( X < x ). (7.37)

Пример 7.14. Дан ряд распределения случайной величины

xi	1	4	5
pi	0,4	0,1	0,5

Найти и изобразить графически ее функцию распределения.

Решение.

В соответствии с определением F ( x ) = 0 при х < 1; F ( x ) = 0,4 при 1 < х < 4; F ( x ) = 0,4 + 0,1 = 0,5 при 4 < х ≤ 5; F ( x ) = 0,5 + 0,5 = 1 при х > 5.

Итак (рис. 7.4),

Рис. 7.4

Свойства функции распределения.