5. Аппроксимация

Рассмотрим некоторые частные случаи:

1. Интервал времени обработки всегда остается меньше, чем минимальный промежуток времени ϑ_min между двумя соседними заявками. В этом случае в интервал не может попасть более одной заявки, а корреляционные связи отсутствуют r_m(τ)=0. Дисперсия D_m(τ), при этом, определяется соотношением 6.20:

(6.20)

Подставляя значение для дисперсии в (6.19), получим, что и следовало ожидать.

2.Рассмотрим пуассоновский поток заявок. Для такого потока D_m(τ)=ρ.

Коэффициент корреляции r_m(τ) для пуассоновского потока также равен нулю.

После подстановки в (6.19), получаем формулу Хинчина - Поллячека в её обычном виде 6.21:

.

(6.21)

3. Рассмотрим поток заявок, имеющий пачечный характер, с максимальной интенсивностью поступления заявок, равной λ_max и средней интенсивностью λ. Времена обслуживания заявок постоянны и равны τ. Максимальное число заявок, поступающих в течение интервала времени τ обозначим через (6.22)

.

(6.22)

Выберем некоторый, достаточно большой промежуток времени, на котором подряд размещается N интервалов обслуживания. Поскольку поток носит пачечный характер, на K интервалах заявки поступают, а на остальных интервалах отсутствуют. Расположение интервалов независимое. Рассмотрим наихудший случай, когда на каждом из указанных К-интервалов поступает одинаковое, максимально – возможное число заявок m_max(τ). Очевидно, что должно выполняться условие (6.23) или (6.24)

	(6.23)
	(6.24)

Обозначим отношение (6.25)

(6.25)

где P- Вероятность того, что интервал τ заполнен заявками.

Обратная величина k=1/P характеризует пачечность потока.

С учетом сказанного, получим

	(6.26)
	(6.27)
	(6.28)

Поскольку расположение интервалов независимое, коэффициент корреляции между ними равен нулю. Подставляя значения дисперсии D_m(τ) в (6.19), получим

.

(6.29)

Убеждаемся в том, что повышение пачечности потока приводит к существенному (в несколько раз) увеличению размеров очередей.

И, лишь при значениях ρ k=λ_max τ=1, приходим к рассмотренному выше первому случаю, когда очередь отсутствует (пачки содержат не более одной заявки).

На рисунке 6.4. , в качестве примера, показаны результаты имитационного моделирования в виде графиков функций

для потоков заявок общего вида, интервалы между которыми удовлетворяют распределению.

Рис. 6.4. Графики функций

Потоки имеют различные коэффициенты вариации ε_ϑ интервалов между заявками , где D_ϑ и _ϑ-дисперсия и математическое ожидание временных интервалов между соседними заявками, соответственно.

Для экспоненциального распределения ε_ϑ=1 (пуассоновский поток), взаимная корреляция отсутствует, и зависимость E_m(ρ), как уже было показано, имеет линейный характер E_m(ρ)=ρ.