Дообслуживание очередей
Если рассмотренное выше условие не выполняется и поступающие заявки последующей пачки вынуждены ожидать окончания обработки всех заявок предыдущих пачек, то возникает некоторая дополнительная доля недообслуживания dj(), показанная на рисунке 6.3.
|
Рис.6.3 Образование дополнительной доли недообслуживания |
На рис. 6.3.а показано поступление заявок с номерами пять и шесть в период обработки заявки с номером два. Указанные заявки остаются в очереди до момента освобождения обслуживающего прибора, т.е., в нашем случае, до момента окончания обработки заявки, с номером четыре. На рис. 6.3.б и 6.3.в показано поступление указанных заявок в моменты обработки заявок, с номерами три и четыре соответственно. Площадь образуемых прямоугольников соответствует дополнительному дообслуживанию, возникающему из-за взаимного влияния пачек заявок.
Очередь размером qj-1 на промежутке, предшествующем появлению пачки mj должна полностью обработаться. Поэтому обработка пачки mj начинается с задержкой, равной qj-1 промежутков.
Из рисунка 6.3.в следует, что для определения площадей рассматриваемых прямоугольников может быть получено рекуррентное соотношение (6.5):
|
(6.5) |
.
Средняя доля дообслуживания, приходящаяся на один интервал обслуживания (6.6),
|
(6.6) |
Уравнение баланса
Для любой одноприборной СМО справедливо рекуррентное соотношение, устанавливающее связь между поступающими и обработанными заявками.
|
(6.7) |
|
|
|
(6.8) |
Обратим внимание на некоторые очевидные особенности δi(τ):
|
(6.9) |
|
|
|
(6.10) |
|
|
(6.11) |
Предпоследнее равенство легко получить, найдя математическое ожидание левой и правой частей (6.7).
Возведем в квадрат левую и правую части уравнения (6.7) и найдем математические ожидания от полученных выражений.
С учетом (2.9) получим,
|
(6.12) |
.
Откуда,
|
(6.13) |
,где Dm(τ) - дисперсия mi().
Окончательно имеем:
|
(6.14) |
Обратим внимание, что в формулу (6.12)
входят составляющими средняя доля
недообслуженных заявок
и
средняя доля дообслуживания заявок
,
которые вместе и формируют среднюю
длину очереди
.
Соотношение (6.14) обобщает известную формулу Хинчина-Поллячека и справедливо для любых стационарных и ординарных потоков заявок, при постоянном времени обслуживания τ.
Не трудно также показать, что числитель выражения (6.13) определяется соотношением (6.15):
|
(6.15) |
Действительно, подставив значение qi(τ) из (6.7), и производя усреднение, имеем (6.16):
|
(6.16) |
Напомним, что
Таким образом, получено еще одно соотношение, определяющее значение очереди :
|
(6.17) |
Обозначим
|
(6.18) |
.
Тогда (6.19),
|
(6.19) |
.
Сравнивая с (6.14), убеждаемся в том, что
,
где
,
что и следовало ожидать.
Выражение (6-16) дает простой алгоритм определения значений Em(τ):
На основании уравнения баланса (6.7) последовательно находятся значения
qj-1()+qj ()и, mi()-ρ, а затем усредняются их произведения.
Зависимость Em(τ) может быть аппроксимирована, и из нее определены характеристические коэффициенты потока заявок общего вида.