2. Очереди в одноканальных системах передачи с потоками заявок общего вида

1. Последовательное распределение постоянных интервалов времени передачи

Канал передачи рассматривается как одноприборная СМО. Алгоритм предусматривает определение чисел заявок m_i, поступающих в течении последовательно расположенных постоянных интервалов времени передачи пакетов τ.

Рассмотрим предлагаемый алгоритм на конкретном примере. Предположим, что все заявки, поступающие в одноприборную СМО, имеют одинаковое постоянное время обслуживания  и алгоритм обслуживания FIFO. Поток заявок показан на рис. 6.1.а. Процесс обработки заявок в такой СМО всегда состоит из последовательности чередующихся периодов занятости обслуживающего прибора (прибор обрабатывает заявки) и периодов простоя, в течение которых заявки в обслуживающем приборе отсутствуют.

Предположим, что перед началом рассмотрения, СМО была свободной, поэтому с приходом первой заявки период простоя завершается и начинается период занятости (заявка начинает обрабатываться обслуживающим прибором). В течение интервала времени вначале поступают четыре заявки (первая, вторая, третья и четвертая) рис. 6.1.б.

Заявка с номером один сразу же поступает в обслуживающий прибор, а остальные три заявки становятся в очередь рис. 6.1.в. В течение следующего интервала времени  в обслуживающем приборе находится заявка с номером два, при этом очередь уменьшается на одну заявку.

Рис.6.1 последовательное расположение интервалов обслуживания

Аналогичное уменьшение очереди происходит при поступлении в обслуживающий прибор заявки с номером три. В течение следующего интервала τ, когда происходит обработка четвертой заявки, в СМО поступают еще две, с номерами пять и шесть, которые становятся в очередь.

Так, последовательно происходит непрерывная обработка всех заявок, включая заявку с номером девять. Если интервал между очередными заявками 9 и 10 окажется достаточно большим, таким, что во время обработки заявки с номером 9 не успеет поступить очередная заявка с номером 10, то непрерывный процесс обработки (период занятости) закончится и наступит период простоя. Период простоя длится до момента появления заявки с номером 10, которая на рисунке не показана.

Поступление любой заявки в систему сопровождается появлением некоторой работы, связанной со временем, необходимым на обслуживание указанной заявки

2. Средняя доля недообслуженных заявок

Рассмотрим пачечный поток заявок, поступающих в СМО в течение достаточно большого промежутка времени T(рис. 6.2). Длительность каждого интервала времени обработки выберем постоянной и равной. Разделим весь промежуток времени T на N одинаковых интервалов времени, длительностью.

Рис.6.2 Пачечный поток заявок

Значения m_j() j=1…N представляют числа заявок , поступающих на каждом интервале (число заявок в пачке). Некоторые «пачки» могут иметь нулевое количество заявок. Так, в течение первого интервала поступает m₁()=4 заявки, причем заявка с номером один сразу же поступит на обработку, поскольку она застает обслуживающий прибор свободным. Появление заявок на первом интервале приведет к возникновению очереди. Суммарную очередь, возникающую в период обслуживания j– ой пачки, при условии, что первая заявка застает обслуживающий прибор свободным, а в период обслуживания всех заявок пачки, других заявок не поступает, назовем числом недообслуженных заявок в пачке.

,

(6.1)

где, l– порядковый номер заявки в j – ой пачке, .

Сумма элементов в (6.1) представляет собой сумму членов убывающей арифметической прогрессии. Следовательно,

(6.2)

Общее число заявок на рассматриваемом интервале времени T (6.3):

.

(6.3)

Суммируя значения a_j() по всем интервалам, определим среднее значение недообслуживания, приходящееся на один интервал обслуживания (6.4):

(6.4)

Средняя доля недообслуживания определяет средний размер очереди при условии того, что все заявки предыдущей пачки успевают полностью обработать до поступления первой заявки очередной последующей пачки.