Гиперпуассоновское распределение вероятностей числа заявок на интервале
Предположим, что составляющие потоки k-го вида характеризуются квазипуассоновскими распределениями числа заявок, соответствующими (5.13). Тогда выражение (5.28) назовем гиперпуассоновский распределением.
|
|
(5.28) |
k=1 |
Наиболее простой формулой гиперпуассоновского распределения является распределение второго порядка (k=2). Оно имеет 5 независимых параметров.
|
(5.29) |
Работу одноприборной СМО можно часто охарактеризовать двумя чередующимися интервалами времени. В течение первого интервала прибор находится в режиме обслуживания заявок, а в течение последующего интервала- прибор находится в состоянии простоя, в связи с отсутствием поступающих заявок. Предположим, что в течение интервалов занятости на вход СМО поступает гиперпуассоновский поток, в то время, как в периоды простоя заявки не поступают. Таким образом, весь поток заявок рассматривается как двухфазный, с последовательным чередованием фаз.
Квазипуассоновское распределение заявок на интервалах занятости можно рассматривать как условное, при условии, что прибор обслуживания находится в состоянии занятости. Вероятность этого состояния определяется коэффициентом загрузки . Вероятность состояния простоя равна (1-). В состоянии простоя заявки на вход не поступают.
Мы получили гиперпуассоновское распределение второго порядка, где P1=(1-), а условное распределение вероятностей числа заявок на интервале простоя является вырожденным (5.30)
где
|
(5.30) |
,
Обозначим через Pn2() - условное квазипуассоновское распределение вероятностей случайной величины n на фазе занятости. Тогда общее распределение вероятностей, с учетом наличия интервалов простоя, определится соотношением (5.31)
|
(5.31) |
,
Не трудно показать, что сумма значений всех вероятностей равна единице (5.32).
|
(5.32) |
,
Подставляя значения из (5.20), получим.
|
(5.33) |
,
Соотношение (5.33) предполагает наличие Г- распределения интервалов между заявками на интервалах занятости и учитывает наличие интервалов простоя, когда заявки в систему не поступают.
Гипер г- распределение вероятностей числа заявок на интервале
Предположим, что составляющие потоки k-го вида характеризуются независимыми Г- распределениями числа заявок, соответствующими (5.5). Тогда:
|
(5.34) |
.Не трудно показать, что для такого распределения выполняются соотношения (5.35).
|
(5.35) |
|
;
.Наиболее простой формулой гипер Г- распределения является распределение второго порядка (k=2).
m = 0, 1, 2… |
(5.36) |
Мультисервисный трафик характеризуется чередующимися периодами, активного и пассивного режимов поступления пакетов.
Пассивный режим имеет весьма малую среднюю интенсивность и высокую неравномерность поступления пакетов.
Такому режиму соответствуют малые
значения математического ожидания
числа пакетов
,
поступающих в течение интервала ,
малые значения коэффициента m1()
и весьма большие значения дисперсии
Dm1().
Активный режим, наоборот, характеризуется весьма интенсивным потоком пакетов, поступающих с максимальной, практически постоянной интенсивностью.
Такому режиму соответствуют большие
значения математического ожидания
числа пакетов
,
поступающих в течение интервала ,
большие значения коэффициента m2()
и весьма малые значения дисперсии
Dm2().
Таким образом, весь поток заявок рассматривается как двухфазный, с последовательным чередованием фаз. Частным случаем многофазного потока является однофазный Г- поток.
Предположим, что в течение режима активности имеется Г- поток пакетов, в то время, как в пассивном режиме заявки вообще отсутствуют.
Г- распределение пакетов на интервалах активности можно рассматривать как условное, при условии, что прибор обслуживания находится в состоянии занятости. Полное отсутствие пакетов в пассивном режиме можно считать предельным Г- распределением.
Разделим весь рассматриваемый промежуток времени на N() одинаковых интервалов . Порядковые номера интервалов обозначим через i, i=1, 2,…N(). Числа заявок, поступающих в течение i-го интервала, обозначим через mi().
Предлагается модель, отображающая
распределение вероятностей поступления
m()
заявок на интервале .
Математическое ожидание
,
второй начальный момент
и
дисперсия распределения Dm().
Обозначим через Nm() число интервалов , в течение которых поступило ровно m() заявок, m()=0,1,2…
При достаточно большом объеме выборки можно считать, что вероятности Pm() поступления на интервалах ровно m() заявок определяется соотношением (5.37).
|
(5.37) |
m=0,1,2…Вероятность отсутствия заявок на указанных интервалах обозначим через P0() (5.38).
|
(5.38) |
.
Искомое распределение вероятностей
(5.39) представляется в виде двух
составляющих, одна из которых P0(),
а вторая - Pm():
|
(5.39) |
где,
|
,
m=0,1,2…
.Окончательно, распределение вероятностей имеет вид (5.40).
m=0,1,2… |
(5.40) |
Из полученных соотношений следует, что, при заданном коэффициенте загрузки (5.41), распределение вероятностей определяется вероятностью P0() отсутствия заявок и значениями дисперсии (5.42) числа заявок на интервале .
|
(5.41) |
|
(5.42) |
Следует подчеркнуть, что точное знание распределения числа заявок на интервале обработки ещё не достаточно для определения средней длины очереди. Существенное влияние оказывают корреляционные свойства потока. На размер очереди влияет приведенный коэффициент автокорреляции rm().