4. Квазипуассоновское распределение вероятностей числа заявок

Рассмотренное выше соотношение (5.13) устанавливает вероятности появления заданного числа n заявок на интервале , при Г-распределении интервалов между соседними заявками.

Рассмотрим случайную величину v=n·. Ее функция распределения описывается выражением (5.15)

(5.15)

Допустим, что случайная величина v может принимать только целочисленные значения (0,1,2…), тогда вероятность появления заданного числа n заявок на интервале  примет вид (5.16).

(5.16)

Учитывая выражения (5.16), (5.17) и (5.18) получим закон Пуассона для целых v (5.19).

,	(5.17)
	(5.18)
	(5.19)

После подстановки значений , получим формулу (5.20).

, где , v=0, 1, 2,…

(5.20)

Указанный закон распределения вероятностей, подчиняющийся (5.20), назовем квазипуассоноаским.

Ранее, под величиной понималось целое число событий, произошедших на интервале τ, не считая первого события, совпадающего с началом отсчета интервала τ. Это число совпадает с целым числом интервалов _j, укладывающихся на интервале τ.

В общем случае, на указанном интервале может разместиться не целое число интервалов _j между заявками, поэтому, представим величину n_i в виде суммы целой и дробной частей (5.21).

, где vi= 0, 1, 2… и 0 i 1.

(5.21)

Если τ<_i, то целая часть v_i=0.

Если τ_i то целая часть, т.е. v_i, определяется из целочисленного уравнения (5.22).

(5.22)

Дробная часть _i показывает долю от интервала _i+vi, которую составляет остаток.

Таким образом, становится ясным физический смысл не целых значений n.

Напомним, что  есть величина, обратная коэффициенту вариации интервалов между соседними заявками исходного потока, при Г- распределении интервалов, которая может принимать любые значения. В частном случае, при экспоненциальном распределении интервалов, =1, мы приходим к закону Пуассона в его обычном виде (5.23).

.

(5.23)

Следовательно, (5.20) обобщает закон Пуассона на не экспоненциальные потоки, заданные Г- распределением интервалов между заявками, с произвольным коэффициентом вариации.

5. Г- распределение вероятностей числа заявок на интервале 

Предлагается плотность распределения W_m() - вероятностей числа заявок на интервале  представить в виде - распределения (5.24).

,

(5.24)

где: , а и D_m() -математическое ожидание и дисперсия числа заявок на интервале , соответственно.

Не трудно показать, что сумма значений всех вероятностей равна единице.

Дробные значения числа заявок следует понимать в рассмотренном выше смысле.

Вероятности P_m() поступления целых чисел заявок определяются соотношением (5.25)

, m=1, 2, 3…

(5.25)

Предположим, что суммарный поток включает в себя K потоков различной активности. Допустим, что периоды активности потоков различного вида не пересекаются. Поток k-го вида характеризуется распределением вероятностей P_kn() числа заявок n, поступающих в течение интервалов . (Это условные распределения вероятностей, полученные при условии, что рассматриваются периоды, соответствующие потоку k-го вида).

Поток каждого k-го вида присутствует в течение суммарного времени T_k.

,

(5.26)

где T - весь исследуемый промежуток времени.

Суммарное распределение вероятностей числа заявок, учитывающее все промежутки активности выразим как (5.27).

k=1

(5.27)