Представление двоичных чисел в формах с фиксированной и плавающей точкой

В цифровых устройствах для представления каждого числа используется стандартная разрядная сетка, состоящая из заданного количества двоичных разрядов. Под разрядной сеткой понимают совокупность двоичных разрядов, используемых для представления одного числа. Для знака числа отводится специальный знаковый разряд. Для положительных чисел в знаковом разряде записывается нуль, а для отрицательных – единица.

В зависимости от способа использования разрядной сетки различают две формы представления двоичных чисел: естественную форму (с фиксированной точкой) и нормальную форму (с плавающей точкой).

В естественной форме двоичные числа представляются последовательностью цифр, разделенной точкой на целую и дробную части. Весовые коэффициенты разрядов здесь фиксированы, поэтому и положение точки фиксировано. Наиболее часто цифровые устройства с фиксированной точкой оперируют с двоичными числами, меньшими единицы, у которых точка фиксируется перед старшим разрядом. Для знака числа выделяется дополнительный разряд. Знак числа веса не имеет. Например, двоичное число X = – 0,10110 в разрядной сетке запишется в виде:

1

1

0

1

1

0

В общем случае m – разрядное двоичное число в разрядной сетке цифрового устройства записывается в виде:

				…
|
Знак	Разряды модуля числа

При таком способе фиксации точки минимальное по модулю число, отличное от нуля, представляемое в цифровом устройстве равно:

а максимальное –

Следовательно, диапазон чисел одного знака, представляемых в таком цифровом устройстве, равен:

Числа меньше представляются как машинный нуль, а числа больше приводят к переполнению разрядной сетки. Область представляемых чисел показана на рисунке 1.

Рисунок 1 – Область представляемых чисел с фиксированной точкой

Достоинством формы с фиксированной точкой является простота выполнения арифметических операций, что обеспечивает простоту арифметического устройства и высокое быстродействие.

Недостатки:

а) узкий диапазон представляемых чисел, что приводит к необходимости использования масштабных коэффициентов;

б) низкая точность представления малых чисел из-за ограниченного числа разрядов в разрядной сетке, что снижает точность вычислений.

В нормальной форме числа представляются с помощью мантиссы и порядка в виде:

(2)

где – мантисса числа А; – основание СС; q – порядок числа А.

Например, десятичное число А = 175 может быть представлено в виде:

Аналогично в двоичной СС:

Таким образом, при изображении числа в нормальной форме положение точки не фиксировано. Место точки указывает порядок числа. Она плавает в изображении числа при изменении порядка.

В разрядной сетке цифровых устройств с плавающей точкой помещаются две группы цифр: мантисса со своим знаком и порядок со своим знаком. Основание СС в разрядной сетке не указывается.

Обычно мантиссы чисел выбирают меньше единицы, и при этом всегда в старший разряд заносится единица, т.е. мантисса всегда записывается в нормализованном виде и в таком виде хранится в памяти. Это позволяет более эффективно использовать разрядную сетку. Но при выполнении арифметических операций результаты могут получиться и ненормализированными. Нормализация заключается в сдвиге мантиссы влево на столько разрядов, сколько у нее было нулей после запятой, и в одновременном уменьшении порядка числа на такое же количество единиц.

Пример 4. Нормализуем двоичное число:

Ответ:

Таким образом, величина нормализованной мантиссы M для двоичных чисел лежит в пределах:

(3)

Числа с плавающей точкой представляются в разрядной сетке в виде:

				…					…
|						|
Знак мантиссы	Модуль мантиссы (m разрядов)					Знак порядка	Модуль порядка (р разрядов)

Минимальное по модулю число получается, если взять минимальную мантиссу и максимальный отрицательный порядок:

Чтобы получить максимальное по модулю число, необходимо взять максимальную мантиссу и максимальный положительный порядок:

Очевидно, что диапазон представляемых чисел зависит только от числа разрядов порядка. Например, если число разрядов для записи порядка P = 6, то получается и

Достоинства:

а) широкий диапазон представляемых чисел, поэтому не нужны масштабные коэффициенты;

б) высокая точность представления как больших, так и малых чисел, так как мантисса нормализована, что обеспечивает высокую точность вычислений.

Недостатком является сложность выполнения арифметических операций, что усложняет схему арифметического устройства и снижает быстродействие.

Таким образом, обе формы представления двоичных чисел имеют свои достоинства и недостатки. Поэтому если требуется высокое быстродействие, то применяют форму с фиксированной точкой, а если требуется высокая точность вычислений, то применяют форму с плавающей точкой.