Канонические формы представления логических функций

Существуют различные формы представления логических функций, но наиболее широкое практическое применение получили канонические (стандартные) формы. К ним относятся:

• совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ);

• совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ).

Следует отметить, что любая логическая функция может быть представлена только одной СДНФ (кроме константы нуля) либо только одной СКНФ (кроме константы единицы).

СДНФ логической функции представляет собой дизъюнкцию элементарных конъюнкций, например:

(34)

Нормальной эта форма функции называется потому, что состоит из элементарных конъюнкций.

Элементарными называются конъюнкции, сомножителями в которых являются одиночные аргументы либо отрицания одиночных аргументов. Например, конъюнкция является элементарной, а – нет. В последнем случае логическая функция не может относиться к СДНФ.

Совершенной эта форма функции называется потому, что элементарные конъюнкции имеют высший ранг, т.е. являются конституентами единицы.

Количество сомножителей в элементарной конъюнкции называется ее рангом. Элементарная конъюнкция высшего ранга называется конституентой единицы. Для n аргументов можно составить конституент единицы, причем для заданных значений истинности аргументов только одна конституента будет равна единице, а остальные – нулю. Например, конституента принимает значение единица для набора аргументов 100 а остальные семь конституент для этого набора аргументов будут равны нулю.

Дизъюнктивной эта форма логической функции называется потому, что отдельные конституенты единицы объединяются в одну функцию знаком дизъюнкции.

Правило. Чтобы получить в СДНФ аналитическое выражение логической функции, заданной таблично, необходимо составить дизъюнкцию конституент единицы для тех наборов аргументов, для которых значение функции равно единице, причем символ любого аргумента в конституенте единицы берется со знаком отрицания, если конкретное значение аргумента в рассматриваемом наборе равно нулю.

Например, запишем в СДНФ аналитическое выражение логической функции, заданной в таблице 7, для этого рассмотрим второй, третий, пятый и седьмой наборы аргументов:

Таблица 7 – Таблица истинности для логической функции трех аргументов

Номер набора	0	1	2	3	4	5	6	7
	0	0	0	0	1	1	1	1
	0	0	1	1	0	0	1	1
	0	1	0	1	0	1	0	1
	0	0	1	1	0	1	0	1

(35)

Приведем форму представления логической функции, не являющуюся СДНФ. Например, функция

(36)

представлена не в СДНФ, а в ДНФ, так как первый член функции имеет первый ранг (для СДНФ каждый член функции должен быть высшего ранга, в данном случае – третьего).

Для перехода от ДНФ к СДНФ необходимо в каждый из членов, в которых представлены не все аргументы, ввести выражение вида где – отсутствующий в члене аргумент. Так как такая операция не может изменить значения функции [3].

СКНФ логической функции представляет собой конъюнкцию элементарных дизъюнкций, например:

(37)

Нормальной эта форма логической функции называется потому, что состоит из элементарных дизъюнкций.

Элементарными называются дизъюнкции, слагаемыми в которых являются оценочные аргументы либо отрицания одиночных аргументов. Например, дизъюнкция является элементарной, а – нет. Во втором случае логическая функция не может относится к СКНФ.

Совершенной эта форма функции называется потому, что элементарные дизъюнкции имеют высший ранг, т.е. являются конституентами нуля. Количество слагаемых в элементарной дизъюнкции называется ее рангом. Элементарная дизъюнкция высшего ранга называется конституентой нуля. Для n аргументов можно составить конституент нуля, причем для заданных значений истинности аргументов только одна конституента будет равна нулю, а остальные – единице. Например, конституента принимает значение нуль для набора аргументов 011 а остальные семь конституент для этого набора аргументов будут равны единице.

Конъюнктивной эта форма логической функции называется потому, что отдельные конституенты нуля объединятся в одну функцию знаком конъюнкции.

Правило. Чтобы получить в СКНФ аналитическое выражение логической функции, заданной таблично, необходимо составить конъюнкцию конституент нуля для тех наборов аргументов, для которых значение функции равно нулю, причем символ любого аргумента в конституенте нуля берется со знаком отрицания, если конкретное значение аргумента в рассматриваемом наборе равно единице.

Например, запишем в СКНФ аналитическое выражение логической функции, заданной в таблице 7, для этого рассмотрим нулевой, первый, четвертый и шестой наборы аргументов:

(38)

Приведем форму представления логической функции, не являющуюся СКНФ. Например, функция

(39)

представлена не в СКНФ, а в КНФ, так как первый член функции имеет второй ранг.

Для перехода от КНФ к СКНФ необходимо в каждый из членов, в которых представлены не все аргументы, ввести выражение вида где – аргумент, не представленный в члене. Так как то такая операция не может повлиять на значения функции [3].