Основные законы и тождества алгебры логики
Логические функции могут быть представлены в различных формах. Эквивалентные преобразования логических функций из одной формы в другую основаны на законах и тождествах алгебры логики. К ним относятся:
Свойства конъюнкции, дизъюнкции и инверсии:
(8)
(9)
если
то
(10)
Справедливость этих выражений может быть доказана с помощью таблиц истинности.
Второе свойство
инверсии
называется законом
двойного отрицания.
Переместительный (коммутативный) закон справедлив как для дизъюнкции, так и для конъюнкции. Например, для двух аргументов можно записать:
(11)
(12)
Справедливость
выражений (11) и (12) можно доказать
подстановкой в них различных значений
и
Закон будет справедлив при любом числе
аргументов.
Сочетательный (ассоциативный) закон также является симметричным, т.е. справедлив и для дизъюнкции, и для конъюнкции. При логическом сложении (умножении) нескольких аргументов любую группу слагаемых (сомножителей) можно заменить их логической суммой (логическим произведением). Для трех аргументов можно записать:
(13)
(14)
Распределительный (дистрибутивный) закон в алгебре логики (в отличие от обычной алгебры) также является симметричным относительно сложения и умножения, т.е. справедливы его разновидности для логического умножения относительно логического сложения (распределительный закон первого рода) и для логического сложения относительно логического умножения (распределительный закон второго рода). Для трех аргументов распределительный закон первого рода можно записать:
(15)
Формула (15) справедлива и для большего числа слагаемых в скобках. Для доказательства справедливости выражения (15) следует рассмотреть условия обращения в 0 или в 1 левой и правой частей.
Для трех аргументов в соответствии с распределительным законом второго рода можно записать:
(16)
Справедливость формулы (16) можно доказать путем непосредственных преобразований. Для этого преобразуем ее правую часть в соответствии с распределительным законом первого рода.
В результате преобразований мы пришли к левой части формулы (16), что и требовалось доказать.
Закон инверсии (правило де Моргана), как и все предыдущие, симметричен относительно логических сложения и умножения.
Отрицание логической суммы нескольких аргументов равно логическому произведению отрицаний этих же аргументов:
(17)
Отрицание логического произведения нескольких аргументов равно логической сумме отрицаний этих же аргументов:
(18)
Доказательство справедливости выражений (17) и (18) не представляет трудностей, поскольку левые и правые части равны 0 либо 1 при одинаковых условиях.
Правило старшинства логических операций является следствием закона инверсии и устанавливает очередность выполнения логических операций в логических функциях, т.е. логические операции обладают приоритетом и выполняются в следующей очередности:
одиночное отрицание;
конъюнкция;
дизъюнкция, сложение по модулю 2 и т.д.;
общее отрицание.
Всякое отклонение от этого порядка должно быть обозначено скобками.
Правило склеивания обеспечивает упрощение логических выражений и является следствием распределительных законов. Для двух аргументов можно записать:
(19)
(20)
Докажем справедливость выражений (19) и (20):
Наименование правила удачно характеризует операцию замены соседних логических сумм (произведений) их общей частью, т.е. два исходных выражения как бы «склеиваются» в одно.
Правило поглощения также позволяет упрощать логические выражения и является следствием распределительных законов. Для двух аргументов можно записать:
(21)
(22)
Докажем справедливость выражений (21) и (22):
Название рассмотренного правила удачно характеризует операцию замены двух членов логического выражения одним из них.