Рекомендации по установлению объемов выборок и их периодичности
Объемы выборок
Для ведения КК используют выборки с объемом выборок n > 1. Такие карты для данных по количественному признаку позволяют более точно оценить настройку ТП в текущее время, чем карты индивидуальных значений с объемом n = 1. Кроме того, при выборках с объемом n = 2 и более возможна оценка разброса.
Чем больше объем выборки и, тем точнее можно оценить настройку ТП и его разброс в текущее время. Однако если ТП имеет тренд или несистематические изменения, то за время взятия большой выборки свойства ТП могут существенно измениться, и тогда не будет оперативной информации о состоянии процесса.
Применяемые при регулировании ТП выборки должны быть мгновенными, т.е. они должны браться за достаточно короткое время, в течение которого свойства ТП (расположение и разброс) заведомо не изменяются. Это относится и к КК для данных по альтернативному признаку.
Периодичность выборок
Периодичность контроля Т в единицах времени или штуках выпущенной продукции зависит от конкретной специфики данного ТП и определяется следующими факторами:
- реальной возможностью взятия выборок через определенный период времени;
- потерями от выпуска несоответствующей продукции в случае, если происходит разладка, не обнаруживаемая до конца периода Т: соответствующие потери должны быть приемлемыми, в противном случае следует уменьшить T ;
- средним временем между наблюдаемыми разладками по разным причинам: период T должен быть существенно меньше этого времени;
- скоростью разладки (при использовании данных по количественному признаку), если ТП имеет тенденцию к тренду вверх или вниз: тренд не должен смещать настройку ТП за период Т более чем на 1/4 часть поля допуска.
Примечание. Указанные ограничения в некоторых случаях делают период Т настолько малым, что статистическое регулирование теряет смысл. В этом случае следует применить другие методы регулирования ТП, например, на основе активного контроля.
Характеристики контрольных карт Шухарта для средних арифметических и управление ими
КК Шухарта по существу решает задачу проверки гипотезы:
- процесс в момент взятия мгновенной выборки находится в настроенном состоянии (т.е. центр настройки совпадает с целевым значением);
против альтернативной гипотезы:
- процесс разладился (т.е. центр настройки существенно сместился от целевого назначения).
При решении подобных задач проверки статистических гипотез всегда существуют статистические ошибки или риски. Эти риски возникают из-за случайности выборочных значений, которые могут существенно отличаться от средних величин.
Риск первого рода (α-риск) равен вероятности отвергнуть основную гипотезу, когда на самом деле она верна, т.е. риск α равен вероятности принятия решения о разладке процесса в то время как на самом деле центр настройки не смещен. Иногда этот риск называют «риском ложной тревоги».
Риск второго рода (β-риск) равен вероятности принять основную гипотезу, когда на самом деле она не верна. Т.е. риск β равен вероятности принятия решения о правильной настройке процесса, в то время как на самом деле центр настройки сместился (обычно на величину а для индивидуальных наблюдаемых значений). Иногда этот риск называют «риском пропуска сигнала».
Увеличение объема выборки позволяет сделать оба риска достаточно малыми. Продемонстрируем это для самой распространенной КК Шухарта - карты арифметических средних ( -карты).
Для измеряемой характеристики (выборочного среднего ) риск α определя-ется как вероятность выхода точки за пределы контрольных границ (рисунок 21.6), симметричных относительно целевого значения Ц (обычно центра поля допуска).
Рисунок 21.6 - Расчет риска α.
Среднее
арифметическое
от
выборочных нормально-распределенных
значений х i также
является случайной величиной. Эта
случайная величина
,
как известно, имеет нормальное
распределение с тем же математическим
ожиданием, что и распределение
индивидуальных значений х i ,
а стандартное квадратическое отклонение
для
в 
раз
меньше, чем для х i :
(21.34)
где 
-
стандартное отклонение для значений
Контрольные
границы (НКГ и ВКГ для
)
проводятся обычно на расстояния 3 
,
а в более общем случае - на расстоянии
,
(21.35)
от целевого значения Ц. Тогда для распределения выборочных средних вероятность выхода значений за пределы НКГ или ВКГ численно равна площади «хвостов» распределения , заштрихованных на рисунке 21.6.
Результаты расчетов этой вероятности для нескольких значений K приведены в таблице 21.9
Таблица 21.9 - Риск α при различных значениях K
Коэффициент K |
Риска |
1,5 |
0,1336 |
2,0 |
0,0456 |
2,5 |
0,01242 |
3,0 |
0,0027 |
Таким образом, проводя контрольные границы на расстоянии ±2 или ±3 , мы фактически изменяем значение риска «ложной тревоги».
Рассчитаем теперь риск «пропуска сигнала о разладке». Для этого предположим, что центр настройки ЦНТП сместился вниз на значение σ от целевого значения Ц (рисунок 21.7).
Рисунок 21.7- Расчет риска β
Тогда риск β равен вероятности попадания случайной величины X в интервал [НКГ, ВКГ]. Из рисунка 21.7 видно, что эта вероятность, равная заштрихованной площади под кривой, зависит как от коэффициента K , так и от объема выборки n . Результаты этих расчетов приведены в таблице 21.10.
Таблица 21.10 - Значения риска b для различных значений K и n
n |
β при коэффициенте K |
|||
1,5 |
2,0 |
2,5 |
3,0 |
|
1 |
0,6852000 |
0,8400000 |
0,9331900 |
0,9771900 |
2 |
0,5323283 |
0,720532 |
0,8610209 |
0,9434844 |
3 |
0,4076925 |
0,6055184 |
0,7784427 |
0,8973247 |
4 |
0,3084900 |
0,4999900 |
0,6914900 |
0,8412900 |
5 |
0,2311335 |
0,4067678 |
0,6039678 |
0,7772335 |
6 |
0,1715196 |
0,3267242 |
0,5200931 |
0,7087645 |
7 |
0,1262652 |
0,2595123 |
0,4421182 |
0,6382333 |
8 |
0,0922417 |
0,2039873 |
0,3714298 |
0,5680613 |
9 |
0,0667900 |
0,1586900 |
0,3084900 |
0,4999900 |
10 |
0,0484377 |
0,1228608 |
0,2541743 |
0,4355903 |
11 |
0,0346930 |
0,0941300 |
0,2072683 |
0,3758557 |
12 |
0,0249080 |
0,0716158 |
0,1678082 |
0,3214493 |
13 |
0,0176679 |
0,0542238 |
0,1345464 |
0,2724969 |
14 |
0,0125570 |
0,0409658 |
0,1074667 |
0,2294511 |
15 |
0,088654 |
0,0306352 |
0,0851127 |
0,1916006 |
16 |
0,0062900 |
0,0227900 |
0,0667900 |
0,1586900 |
17 |
0,0044127 |
0,0169658 |
0,0524332 |
0,1309302 |
18 |
0,0031062 |
0,0125255 |
0,0408803 |
0,1072868 |
19 |
0,0021777 |
0,0092175 |
0,0316493 |
0,0873662 |
20 |
0,0014572 |
0,0068194 |
0,0244340 |
0,0706910 |
21 |
0,0010423 |
0,0049688 |
0,0187438 |
0,0568809 |
22 |
0,0007188 |
0,0036050 |
0,0142734 |
0,0455676 |
23 |
0,0004983 |
0,0026275 |
0,0108234 |
0,0362527 |
24 |
0,0002920 |
0,0018971 |
0,0082155 |
0,0287635 |
25 |
0,0000000 |
0,0012900 |
0,0062900 |
0,0227900 |
26 |
0,0000000 |
0,0009929 |
0,0047057 |
0,0179380 |
27 |
0,0000000 |
0,0007015 |
0,0035362 |
0,0140439 |
28 |
0,0000000 |
0,0005070 |
0,0026665 |
0,0109619 |
29 |
0,0000000 |
0,0003197 |
0,0019938 |
0,0085609 |
30 |
0,0000000 |
0,0002128 |
0,0014266 |
0,0067227 |
Как видно из таблицы , при любом выбранном значении коэффициента K риск β убывает при увеличении n .
Таким образом, при расчете КК Шухарта для выборочных средних можно рекомендовать следующий алгоритм действий:
- по таблице 21.9, устанавливая приемлемое значение риска α, выбирают значение коэффициента K ;
- по таблице 21.10 для выбранного K и приемлемого значения риска β выбирают значение объема выборки n
- рассчитывают НКГ и ВКГ по формулам (21.28) и (21.29), при этом, если K не равно 3, то значение коэффициента G изменяют на G ':
G' = G . (21.36)
Реально объем выборок n определяется также допустимой трудоемкостью измерений, а также соображениями «мгновенности» выборок: ТП не должен за время взятия выборки «расстраиваться» более чем на ¼ часть оцененного значения σпред. Эти соображения в реальной ситуации могут заставить поступиться значениями рисков и увеличить их.