Лабораторная работа № 15

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

КОМБИНИРОВАННЫМ МЕТОДОМ

Цель работы – освоить навыки приближенного нахождения корней алгебраических трансцендентных уравнений комбинированным методом в различных средах программирования.

Постановка задачи:

1. Используя комбинированный метод, вычислить с заданной точностью ( ) действительные корни заданного алгебраического уравнения .

2. Решить задачу в различных средах: Fortrani, MS Excel и MathCad.

Теоретические сведения

Дано уравнение . Пусть найден отрезок, на концах которого функция имеет разные знаки, и производные и на этом отрезке сохраняют знак. Таким образом, на рассматриваемом отрезке находится единственный действительный корень уравнения. Обозначим его через . Комбинированный метод, используемый для вычисления значения корня с заданной точностью, заключается в поочередном применении метода хорд и метода касательных. Концы отрезка, содержащего корень уравнения, обозначим и . Условимся обозначать тот конец отрезка, на котором знаки функции и её второй производной совпадают.

Ч ерез точки , проведём хорду. Точку пересечения хорды с осью обозначим . В точке проводим касательную к кривой . Точку пересечения касательной с осью обозначим через . Итак, получен новый отрезок с концами и , содержащий корень уравнения. Аналогично получаем отрезок с концами и , и т.д. Расчётные формулы комбинированного метода включают формулы

1. метода хорд:

, ;

2. метода касательных (Ньютона):

, ,

где .

Если корень уравнения требуется вычислить с точностью , процесс вычисления корня можно прекращать в тот момент, когда . В качестве ответа взять среднее арифметическое последних полученных значений и , т.е.

.

Пример ручного счета. Вычислить с точностью действительный корень уравнения .

Рассмотрим . На отрезке содержится корень заданного уравнения, так как на концах этого отрезка функция имеет разные знаки: , . Производная при всех , поэтому уравнение имеет единственный действительный корень.

Таким образом, на отрезке находится единственный действительный корень уравнения.

Вторая производная при , поэтому через обозначаем конец отрезка , т.е. , . Дальнейшие вычисления оформляем в виде таблицы:

				при
0	-1	-2	-1	4	-6	-10	15	0,4	-0,4
1	-1,4	-1,6	--0,2	1,056	-0,896	-0,932	10,68	0,1082	-0,0839
2	-1,5082	-1,5161	-0,0079	0,044747	-0,033146	-0,077893	9,895678	0,004558	-0,00335
3	-1,512738	-1,512750	-0,000012

Ответ: .