Лабораторная работа № 13-1 приближенное вычисление определенного интеграла в среде microsoft excel

Цель – научиться использовать численные методы нахождения приближенного значения определенного интеграла функции y=f(x) в среде Microsoft Excel, Mathcad, Microsoft Developer Studio.

Постановка задачи

1. С помощью среды программирования Excel найти приближенное значение определенного интеграла функции f(x) на интервале [a, b] при заданном числе промежутков интегрирования n (n=12 для всех вариантов).

2. Приближенное значение интеграла определить с помощью методов левых и правых прямоугольников, трапеций и Симпсона (парабол).

3. Для методов трапеций и Симпсона оценить погрешность вычисления приближенного интеграла.

Теоретические сведения

1. Численное интегрирование.

Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница

практически не всегда возможно. Может случиться, что первообразная F(x) не выражается через элементарные функции или выражается слишком сложно. В этих случаях приходится обращаться к методам приближенного интегрирования, т.е. к методам, позволяющим найти численное значение определенного интеграла приближенно с любой степенью точности.

Одним из методов приближенного интегрирования является метод прямоугольников. Сущность метода заключается в следующем. Участок интегрирования [a, b] делят на n равных частей и получают точки x₀ = a, x₁, x₂,…, x_n-1, x_n = b. Расстояние между соседними точками (шаг) равно . Площадь криволинейной трапеции, т.е. искомый интеграл, приближенно заменяют суммой площадей прямоугольников, образуемых отрезками разбиения и значениями подынтегральной функции в левых или правых концах этих отрезков.

Формула метода левых прямоугольников имеет вид

.

Формула метода правых прямоугольников имеет вид

.

Очевидно, что чем больше будет число n отрезков разбиения, тем более точный результат дадут приведенные формулы. Однако увеличение отрезков разбиения промежутка интегрирования ведет к усложнению расчетов. Поэтому большой интерес представляют методы, дающие более точные результаты при том же количестве разбиений. Простейшими из таких методов являются методы средних прямоугольников и трапеций.

Если в качестве значений функции использовать средние точки отрезков разбиения, то получим формулу метода средних прямоугольников:

.

Если на каждом отрезке разбиения дугу графика подынтегральной функции заменить стягивающей ее хордой, то интеграл можно приближенно заменить суммой площадей элементарных трапеций. Формула трапеций имеет вид:

Для оценки погрешности формул прямоугольников и трапеций кроме интеграла с одинарным шагом I_h вычисляют интеграл с двойным шагом I_2h. Погрешность методов левых и правых прямоугольников оценивается формулой

,

а погрешность методов средних прямоугольников и трапеций – формулой

.

Если на каждом сдвоенном отрезке разбиения дугу графика подынтегральной функции заменить стягивающей ее параболой, то формула Симпсона (парабол) имеет вид:

а погрешность метода парабол оценивается формулой: