3.2 Обчислення енергії переносу

Перед тим як ми продовжимо і почнемо обчислювати енергію переносу, потрібно розглянути концепцію теорії перколяції. Порівняння з результатами симуляції показують, що перколяційна природа носіїв переносу дуже важлива і її потрібно брати у розрахунок.

Схема 3.2 Перколяційна теорія: поки стрибковий радіус R менший за певний граничний радіус Rc, не може бути знайдений з’єднаний шлях через систему. Це зображено на під-схемі а). Як тільки стрибковий радіус дорівнює або перевищує певний граничний радіус, такий шлях може бути знайденим, як показано на під-схемі b). З дозволу виконано Даніелем Хюммером.

3.2.1 Перколяційна теорія

Перколяція визначається таким чином: В мережі вузлів, розподілених випадково, позначають два вузли і та j як з’єднані якщо і тільки їх відстань один до одного Rij менша за певний граничний радіус R. Якщо всі пари вузлів, що відповідають заданому критерію Rij < R, проголошуються як з’єднані, формується кластер. Розмір цих кластерів буди залежати безсумнівно від R: Коли R дуже великий, кластери також великі за розміром і вся система може навіть бути цілком з’єднана. Коли R дуже малий, багато кластерів можуть складатися з двох чи трьох з’єднаних вузлів і формування великих кластерів малоймовірне. Серед цих обмежень, буде існувати один певний граничний радіус R ≥ Rc, вище якого існує хоча б один кластер, що з’єднує дві протилежні сторони системи. Перколяційний критерій показаний на схемі 3.2. У верхній половині схеми, типова вузлова відстань занадто мало для з’єднаного шляху. У нижній половині, R > Rc такий кластер може бути сформований.

Величина Rc залежить від розмірів системи та, в більш складних критеріях для з’єднання двох точок, вона також може залежить від інших різноманітних параметрів. В чисто геометричному критерії описаному вище, Rc було визначено за допомогою:

(3.3), з константним перкуляційним порогом Bc ≈ 2.7±0.1. Кількісний показник N це загальна концентрація вузлів в системі. Величина Bc коливається у літературі, так як тривимірно це може бути визначено лише за допомогою комп’ютерної симуляції.

Рівняння (3.3) може бути також інтерпретовано таким чином, що всередині сфери з радіусом Rc навколо кожного вузла, має існувати в середньому Bc інших вузлів у мережі, щоб знайти з’єднаний шлях між двома протилежними сторонами системи. Так як стрибкова провідність більш-менш є також мережевою проблемою і для того щоб сприяти провідності, носій заряду має пройти між сторонами системи, Перколяційа теорія також може бути застосована до моделі стрибкової провідності. Першими хто зробив це були знову ж таки Грюнвальд і Томас.

Також треба зазначити, що величина Bc = 2.7, як ми побачимо це пізніше, функціонує несподівано добре, тому ми залишимо її як перколяційний фактор.

3.2.2 Оптимізація показників стрибка

Щоб обчислити енергію переносу, ми дотримуємося простої моделі. Припустимо що носій заряду займає енергетичний стан десь у хвості густини станів. Тепер припустимо, що він збирається активізувати себе, через те, що низько енергетичні стани надто далеко від його поточної позиції. Щоб виявити цільову енергію цього активованого стрибка, ми просто оптимізуємо стрибкові показники відносно цільової енергії Et :

(3.4) V↑(E, Et) – показник стрибкових переходів догори по енергії з точки з енергією E до енергії переносу Et. Виявляється що застосовуючи стрибкові показники Міллер-Абрахама (Рівняння 3.1, 3.4) рішення є незалежним від початкової енергії E. Це значить що незважаючи на стартову енергію, існує певний цільовий рівень Et, до якого в активованих стрибках найчастіше посилаються.

Давайте спробуємо обчислити радіус R(Et) що входить до просторової частини стрибкових показників. Так як наша ГС загалом не константна, то вона має залежати якимось чином від енергії. По суті, визначення стрибкового радіусу не тривіальна та дискусійна задача.

Не маючи змогу обчислити середню відстань між точками R(Et) (іншими словами – концентрація N(Et)) в одній конкретній енергії (G(E) – функція густини), ми маємо визначити певну енергетичну межу досяжності Et<E<Et + ∆E, яка враховується інтеграцією цієї межи.

Можна легко продемонструвати, що у крутій густині станів що розкладається, величина ∆E по суті не вирішальна: Настільки багато станів отриманих на верхніх енергіях Et, нижчий поріг можна обрати вільно до тих пір поки інтервал достатньо великий. Таким чином ми застосовуємо наступний вираз для обчислення N(Et) :

(3.5). Зверніть увагу, що у рівнянні (3.5) всі енергії знову позитивно підраховані від енергії, до якої посилаються E = 0. Більші значення позначають нижчі позиції в ГС.

У випадку рівняння (3.5), ми обираємо ∆E = ∞ щоб спростити обчислення. Фактор з розподілом Фермі, (1 – F(E, Ef)), запевняє що підраховані тільки не зайняті точки. Таким чином, N(Et) у рівнянні (3.5) це просторова концентрація незайнятих точок на рівні енергії Et та нижче. Ці точки доступні як цілі (мішені) у активованих стрибках для енергії переходу Et.

Решта обчислень відносно проста: Ми беремо критерій перколяції у рівнянні (3.3), вставляємо N(Et) з рівняння (3.5) і отримуємо R(Et). Потім результат вставляємо у показники Міллер-Абрахама у рівнянні (3.1) і оптимізуємо ці показники відносно до Et, як описано рівнянням (3.4), G(E) це ГС а F(E, Ef) – дистрибуція Фермі, щоб врахувати концентрації обмежених носіїв заряду.

Рівняння (3.1), а також (3.3-3.5) формують таким чином послідовний набір рівнянь, що закінчується наступною формулою визначення енергії переносу Et:

(3.6). Рівняння (3.6) можна розв’язати у числовому вигляді для будь-якого набору параметрів P, Na3,Ó/kT та n/N.