9.2. Деякі поняття та визначення

1. Для опуклої функції має виконуватися умова

,

де .

Якщо знак „<”, то функція є строго опуклою.

Щодо увігнутої функції, то має місце відношення знаків „ ”, або „>”.

Треба пам’ятати, якщо – випукла функція, то – увігнута.

Проте зробити аналіз на опуклість чи увігнутість функції цим методом не дуже просто, а в деяких випадках – неможливо.

Тому, якшо функція неперервна і має похідні принаймні другого порядку, то аналіз такої функції можна здійснити за допомогою головних мінорів, матриці яких складаються з елементів других часткових похідних. Така матриця називається гессіаном

.

2. У квадратичній матриці головними мінорами називаються визначники підматриць

.

3. Вихідні матриці бувають такі:

   • якщо , то матриця називається додатньо визначеною;

   • якщо матриця вироджена (її визначник дорівнює нулю) та , то матриця називається додатньо напіввизначеною;

   • якщо знак відповідає знаку , то матриця називається від’ємно визначеною;

   • якщо знак k-го головного мінору дорівнює нулю або має знак ,то матриця називається від’ємна напіввизначеною.

4. Якщо у гессіана , то – опукла, якщо знак відповідає знаку , то – увігнута.

5. Градієнт функції

вказує напрямок максимальної зміни величини цільової функції .

Скалярний добуток градієнта та одиничного вектора має вид:

.

6. Необхідною умовою існування екстремуму (локального чи глобального) є рівняння .

Такі точки, включаючи точки перегину та сідлової точки, називаються стаціонарними.

7. Якщо у стаціонарній точці

• матриця додатньо визначена, то має місце мінімум функції;

• матриця від’ємно визначена, то має місце максимум функції.

8. Знаходження максимуму рівносильно знаходженню мінімуму (- ).

9.3. Задачі опуклого програмування

Якщо область допустимих розв’язків і цільова функція опуклі, тобто виконуються умови

, ,

то такі задачі відносять до задач опуклого програмування.

Важливою властивістю задач опуклого програмування є збіг локального та глобального екстремумів, що значно спрощує знаходження оптимального розв’язку задач опуклого програмування.

Для цих задач достатньо виконання умови Куна-Таккера:

якщо область допустимих розв’язків опукла, то при увігнутій функції має місце її максимум, при опуклій функції – її мінімум.

У задачах опуклого програмування цільова функція може бути

сепарабельною

,

квадратичною

.

Умовно задачі опуклого програмування розділяють на такі класи:

• опуклі задачі (опуклий характер цільової функції та обмежень);

• квадратичне програмування (квадратичні функції та лінійні обмеження);

• багатоекстремальні задачі (сукупність залежностей опуклого та увігнутого характеру).

Згідно з властивостями для опуклих задач маємо:

якщо цільова функція опукла, то локальний мінімум збігається з глобальним;

якщо цільова функція увігнута, то локальний максимум збігається з глобальним.

Це означає, що в таких задачах для знаходження глобального екстремуму необхідно та достатньо, щоб похідна у цій точці дорівнювала нулю.