8.5. Задача про найкоротшу відстань

8.5.1. Загальна постановка

Задача про найкоротшу відстань є типовою транспортною задачею у сітьовій постановці. Вона об’єднує не тільки клас транспортних задач, до неї можна звести низку прикладних виробничих задач:

про заміну обладнання;
знаходження найнадійнішого маршруту;
про мінімізацію аварійних ситуацій;
проектування та ін.

Щоб розв’язати задачу у сітьовій постановці треба знайти топологію мережі та величини пропускних спроможностей .

У термінах задачі лінійного програмування математична модель цієї задачі має такий вигляд:

цільова функція

обмеження

(початковий пункт),

(кінцевий пункт),

для та .

Таку модель можна розвязувати симплекс-методом, але для сітьових задач розроблено простіші методи розв’язування, тому недоцільно для таких задач використовувати симплекс-метод.

8.5.2. Алгоритм розв’язування

Обчислювальна процедура розвязування задачі розглядається для мережі без циклів і з однією початковою та кінцевою вершиною.

Заздалегідь всі вершини І графа G мають бути упорядковані, тобто пронумеровані згідно з напрямком дуг зліва направо.

Кожна дуга повинна мати оцінку – відстань від і-ї до j-ї вершини.

Алгоритм знаходження найкоротшої відстані від до такий.

Розбити множини вершин І на дві підмножини . Первісно у множину входить тільки одна вершина: і = 1, тобто джерело .
Вибір вершини з і знаходження оцінки

Закріплення за -ю вершиною оцінки .
Переведення -ї вершини з підмножини у підмножину та привласнення їй наступного номера і.
Перехід до наступної вершини .
Перевірка, чи всі вершини переглянуто, тобто, чи дійшов процес розв’язування до кінцевої вершини . Якщо так, то перехід до п.7, якщо ні, то перехід до п.2.
Знаходження найкоротшої відстані та будування найкоротшого шляху .