РОЗДІЛ 8
ПРОГРАМУВАННЯ НА МЕРЕЖАХ
8.1. Основні поняття теорії графів
Чимало задач прикладного характеру пов’язується з упорядкованою множиною точок, під якою розуміються об’єкти, агрегати та інші дискретні елементи, з побудовою конструкцій, які складаються із взаємозв’язаних елементів, з транспортними проблемами та ін.
Такі задачі зручно відображувати схемою, яка складається з точок і відрізків, які з’єднують будь-яку пару точок, якщо такий зв’язок має місце.
Схема, що має таку структуру, називається графом, а задачі з такими графами відносять до задач теорії графів. 3а допомогою цієї теорії розв’язуються задачі, які пов’язані з будуванням схем, з плануванням послідовності виконання робіт, з функціонуванням підсистем АСК, балансові процеси тощо.
Найбільше використання теорія графів має при розв’язуванні інформаційних задач, задач з проблеми мінімізації кількості перетинів (так звана задача про мінімальну кількість аварій), задача про найкоротшу відстань, задача про максимальний потік та інші задачі, які пов’язані з побудовою сітки зв’язків (газопроводи, мережі електропередач тощо).
Теорія графів дозволяє за допомогою єдиного підходу формулювати задачі, які начебто далекі одна від одної у своїй постановці. Усі задачі в термінах теорії графів можна розділити на два умовні класи:
задачі, які пов’язані з підрахунком кількості об’єктів заданої властивості;
задачі, що розв’язуються за алгоритмами на графах.
Позначимо деяку
множину точок як
,
де точку з цієї множини
назвемо вершиною. Ці вершини мають деякі
зв’язки між собою, які утворюють множину
зв’язків
та відображують
наявність
або відсутність зв’язків між парами
елементів
,
тобто
,
де
.
Якщо не має значення,
в якому порядку беруться пари вершин –
або
,
– то зв’язок такої пари вершин називається
ребром
(тобто без орієнтації).
Якщо порядок
зв’язку вершин істотно змінює зміст,
тобто коли пари
та
вважаються різними, такий зв’язок
називається дугою
(випадок з орієнтацією).
Граф позначається
множиною
і називається неорієнтованим,
якщо зв’язки відображаються ребрами,
та орієнтованим
(орграфом), якщо зв’язками є дуги.
Якщо
та
,
то граф
називається підграфом
графа
.
У випадку, коли
збігається
з
,
то граф
називається
остовним
підграфом
графа
.
Якщо для будь-яких двох вершин є зв’язок, то такий граф називається повним.
Ребро
інцидентно вершинам
та
,
та у свою чергу ці вершини інцидентні
ребру
;
в орграфі
прийнято твердження, що дуга
виходить з
вершини
та заходить у вершину
.
Приклади графів наведено на рис. 8.1.
Граф
Підграф
Остовний граф Повний
граф
Рис. 8.1
Перехід від однієї вершини графа до другої виконується за допомогою шляху. У неорієнтованому графі шлях називається ланцюгом, який складається з послідовного набору суміжних ребер. Шлях в орграфі називається орієнтованим. Якщо перша та остання вершини шляху збігаються, то такий шлях називається циклом. Якщо для будь-якої пари є принаймні один шлях, то граф називається зв’язаним. Особистим класом графів є дерево – це зв’язаний граф, в якому відсутні цикли (рис.8.2).
1
4 1
4 1 4
3 3 3
2 5 2 5 2 5
Простий шлях Орієнтований шлях Цикл 1,3,4
1,3,5 1,3,4,5
Зв’язаний граф Граф-дерево
Рис. 8.2
Вершини та їх зв’язки можна зображувати на площині по-різному, виходячи із зручного зображення процесу. Внаслідок цього один і той самий граф можна зображувати по-різному, наприклад, як на рис. 8.3.
3
3 5
4
1
5 1
4
2 2
Рис. 8.3
Такі графи ізоморфні.