7.3.6. Приклад

Згідно з початковою матрицею знайти кільцевий маршрут постачання готової продукції від заводу до трьох баз призначення з мінімізацією загальної відстані пробігу автотранспорту.

Завод, який постачає готову продукцію, відображується у матриці першою точкою.

Початкова матриця має вигляд:

	1	2	3	4
1	Х	25	20	28
2	25	Х	24	26
3	20	24	Х	25
4	28	26	25	Х

Процес розв’язування задачі такий.

По кожному рядку знаходимо та перетворюємо початкову матрицю на матрицю, зведену за рядками: . Потім по кожній колонці знаходимо і перетворюємо знайдену матрицю на повністю зведену: . Така матриця має наступний вигляд:

	1	2	3	4
1	Х	4	04	6
2	1	Х	0	0
3	0	3	Х	3
4	3	0	0	Х

Початкове значення нижньої межі усіх кільцевих маршрутів дорівнює

.

Для кожного нульового елемента цієї матриці знаходимо його оцінку (не враховуючи самого нульового елемента):

Вибір максимальної оцінки (можна вибрати і , яка показує на варіант розгляду двох напрямків дерева-графа з дугою (13) (рис. 7.8).

92

Рис.7.8

Для наочності процесу розв’язування наведемо кінцевий дерево-граф прикладу (рис. 7.9).

(34), (42)

92 96 96

98

(24), (43)

96 96 96

100 98

Рис.7.9

Згідно з вибором дуги (13) з матриці виключається перший рядок та третя колонка, елемент , тому що він може подалі дати частковий кільцевий маршрут. Така матриця має вигляд:

	1	2	4
2	1	Х	0
3	Х	3	3
4	3	0	Х

Потім цю матрицю перетворюємо на повністю зведену: :

	1	2	4
2	02	Х	00
3	Х	00	00
4	2	02	Х

Знаходимо нижню межу маршрутів з включенням дуги (13):

Згідно з одержаною матрицею знаходимо оцінки для кожного нульового елемента

і вибираємо за максимальною величиною дугу (21), яка включається до складу послідовності

Потім виключається другий рядок та перша колонка, тобто , тому що набір послідовності з дугою (32) може дати надалі частковий кільцевий маршрут. Така матриця має вигляд:

	2	4
3	Х	0
4	0	Х

Одержана матриця має розмір (2х2). Таким чином, послідовність доповнюється дугами (34) та (42), а оцінка нижньої межі не змінюється, тому що ця матриця є повністю зведеною.

Отже, та .

З набору знайдених дуг послідовності будується кільцевий маршрут , який має значення цільової функції = 96.

Другий розвиток знаходження варіантів розв’язку задачі виконуємо тоді, коли дуга (13) не увійшла до послідовності .

Для цього у відповідній матриці змінюємо та перетворюємо її до повністю зведеної:

	1	2	3	4
1	Х	4	Х	6
2	1	Х	0	0
3	0	3	Х	3
4	3	0	0	Х

	1	2	3	4
1	Х	0	Х	2
2	1	Х	0	0
3	0	3	Х	3
4	3	0	0	Х

Таким чином, цей напрямок пошуку рівноцінний з першим напрямком пошуку; тому, щоб знайти інші варіанти розв’язку, доцільно також розглянути і цей напрямок.

Знаходяться оцінки нульових елементів:

Отже, вибирається дуга (31), а , та виключаються третій рядок і перша колонка. Така матриця має вигляд:

	2	3	4
1	0	Х	2
2	Х	0	0
4	0	0	Х

Зрозуміло, що таку послідовність треба розглядати подалі.

З цієї матриці знаходимо

та по послідовності включаємо дугу (І2).

Потім виключаємо перший рядок та другу колонку , тому що послідовність має вигляд (312). Така матриця має вигляд:

	3	4
2	Х	0
4	0	Х

Ця матриця повністю зведена, і має розмір (2Х2). До включаються дуги (24) та (43) і будується кільцевий маршрут

Третій напрямок пошуку є з дугою ( ), для якої будується наступна матриця:

	2	3	4
1	Х	Х	2
2	Х	0	0
4	0	0	Х

Одержана матриця перетворюється на повністю зведену і знаходиться нижня межа оцінки

.

Цей напрямок має вищу оцінку, тому подалі він не розглядається.

Перевіряємо інші напрямки пошуку.

Напрямок 3 ( ) має наступну матрицю:

	1	2	3	4
1	Х	0	Х	2
2	1	Х	0	0
3	Х	0	Х	0
4	3	0	0	Х

Цей напрямок також має вищу оцінку:

Тому подалі він не розглядається.

Перевіримо напрямок з (13) ( ), для якого маємо наступну матрицю:

	1	2	4
2	Х	Х	0
3	Х	0	0
4	2	0	Х

Для цього напрямку і цей напрямок також подалі не розглядається.